Bachelorarbeit - Digitale Bibliothek - Hochschule Neubrandenburg

4. Umsetzung
Aufgrund der großen Anzahl von Permutationen ist diese Form der Berechnung der
Näherungswerte vergleichsweise aufwendig, zumal sie bereits eine Art Ausgleichung
darstellt und bei hinreichend genauen Beobachtungen überflüssig ist.
4.1.3. Polynome
Viele Trajektorien lassen sich vollständig oder teilweise mittels Polynomen approximieren.
Diese Tatsache macht sie für eine Ausgleichung besonders interessant. Darüber
hinaus ist die Implementierung hinsichtlich ihres einfachen funktionalen Zusammenhangs
und der iterativen Berechnung der partiellen Ableitungen vergleichsweise
unproblematisch.
Funktionaler Zusammenhang von Polynomen
Eine Funktion f : R → R mit
f(x) =anx n + an−1x n−1 + ···+ a1x + a0
(4.19)
für ai ∈ R, n ∈ N0, i = 0, 1,...,n und an �= 0 wird als Polynom vom Grad n
bezeichnet. Ein Polynom vom Grad 0 hat die Form f(x) =a0. Die Umstellung von
(4.19) führt zu dem funktionalen Zusammenhang
anx n + an−1x n−1 + ···+ a1x + a0 − y =0. (4.20)
Für die A-Matrix eines Polynoms mit f(x) =ax 2 + bx + c ergibt sich nach partieller
Ableitung nach den Unbekannten die Form
⎡
x
⎢
A = ⎢
⎣
2 1 x1 1
x2 2 x2 1
. . .
x2 ⎤
⎥ . (4.21)
⎥
⎦
n xn 1
Aus (3.8) ist ersichtlich, dass die Anzahl der Elemente in den Zeilen der Matrix mit
dem Grad des Polynoms zunimmt. Da sich die partiellen Ableitungen der A- und
B-Matrix jeweils iterativ berechnen lassen, kann die Software sehr einfach erweitert
werden, um beispielsweise auch Polynome siebten oder achten Grades auszugleichen.
In Abschnitt 4.3 soll darauf näher eingegangen werden.
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