Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

Nach obigen Schema werden die DGLn aufgestellt. Da das System eine Weile braucht, bis es genügend
ausdünnt und sich der absorbierende Zustand füllt, ist es angebracht, die Zeitachse logarithmisch einzuteilen.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10 −2
10 −1
10 0
Zeit
Allerdings wird der Informationsgehalt von den einzelnen Pn(t) rasch sehr gering. Stattdessen kann man
sich für die Dynamik des Mittelwertes interessieren.
Bsp.3: N → ∞
Da die Mittelwertbildung mathematisch einfacher ist, wenn der Prozess nach oben hin nicht beschränkt
ist, rechnen wir ihn hier für die offene Kette aus (s. Abb. 2).
Erwartungswert für A nach kurzem Zeitschritt △t
∞�
〈A(t + △t)〉 = n· [pn−1,n · Pn−1(t) + pn+1,n · Pn+1(t) + (1 − pn,n+1 − pn,n−1) · Pn(t)]
n=1
= 1· [p0,1 · P0(t) + p2,1 · P2(t) + (1 − p1,2 − p1,0) · P1(t)]
+ 2· [p1,2 · P1(t) + p3,2 · P3(t) + (1 − p2,3 − p2,1) · P2(t)]
.
10 1
+ (k − 1)· [pk−2,k−1 · Pk−2(t) + pk,k−1 · Pk(t) + (1 − pk−1,k − pk−1,k−2) · Pk−1(t)]
+ k· [pk−1,k · Pk−1(t) + pk+1,k · Pk+1(t) + (1 − pk,k+1 − pk,k−1) · Pk(t)]
+ (k + 1)· [pk,k+1 · Pk(t) + pk+2,k+1 · Pk+2(t) + (1 − pk+1,k+2 − pk+1,k) · Pk+1(t)]
Jetzt umsortieren. ’Wo trägt etwas mit Pk(t) zur Summe bei?’
〈A(t + △t)〉 = 1· p0,1 · P0(t)
.
+ 2· p1,2 · P1(t) + 1· (1 − p1,2 − p1,0) · P1(t)
+ 3· p2,3 · P2(t) + 1 · p2,1 · P2(t) + 2· (1 − p2,3 − p2,1) · P2(t)
.
+ (k + 1)·pk,k+1 · Pk(t) + (k − 1) · pk,k−1 · Pk(t) + k· (1 − pk,k+1 − pk,k−1) · Pk(t)
.
10
10 2
P 0 (t)
P 1 (t)
P 2 (t)
P 3 (t)
P 4 (t)
P 5 (t)
P 6 (t)
P 7 (t)
P 8 (t)
P 9 (t)
P 10 (t)