Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

1 1/2 1/2 1/2 1/3 2 1/2 1/3 3 4 5 1/3 Mittelwertsregel für Gewinnwahrscheinlichkeit i : fester Endzustand “Gewinn” l : andere Endzustände “Verlust” j, k : beliebige andere Zustände gk : Gewinnwahrscheinlichkeit bei Start in Zustand k 1 gi = 1 , gl = 0 gk = � j pkj · gj Man kann die Formel als eine Gewichtung der Erfolgsaussichten aller möglichen Nachfolgezustände ansehen, denn für alle k gilt � j pkj = 1. Maus-Beispiel Die Endzustände sind 2 und 5. g1 = 1 2 g3 + 1 2 g2 g2 = 0 g3 = 1 2 g1 + 1 2 g4 g4 = 1 3 g3 + 1 3 g2 + 1 3 g5 g5 = 1 Einsetzen liefert Gewinnwahrscheinlichkeit für Start in 3 g3 = 1 � 1 2 2 g3 � + 1 � 1 2 3 g3 + 1 � 3 = 5 12 g3 + 1 6 ⇔ g3 = 2 ≈ 28, 6 % 7 Mittelwertsregel für die durchschnittliche Spieldauer ti = 0 für alle Endzustände tk = 1 + � j pkj · tj Auch dies ist praktisch eine Gewichtung der Nachfolgewartezeiten eines jeden Zustands unter der Berücksichtigung, dass es einen Zeitschritt dauert, bis man in einem solchen Nachfolgezustand ist. 4 1
Maus-Beispiel Einsetzen liefert t1 = 1 + 1 2 t3 + 1 2 t2 t2 = 0 t3 = 1 + 1 2 t1 + 1 2 t4 t4 = 1 + 1 3 t3 + 1 3 t2 + 1 3 t5 t5 = 0 t3 = 1 + 1 2 ⇔ t3 = 24 7 Prognose von Verteilung auf Zustände = 2 + 5 12 t3 � 1 + 1 2 t3 � + 1 2 ≈ 3, 43 � 1 + 1 3 t3 � Meist interessiert die Gesamtheit aller möglichen Zustände zu einem festen Zeitpunkt, die Verteilung. Besteht der Übergangsgraph aus i Zuständen 1, . . .,m und bezeichne un = (u n 1, . . .,u n m) die Verteilung nach n Zeitschritten, dann errechnet sich der Anteil jedes Zustandes i zum Zeitpunkt n + 1 wie folgt Dabei ist u n+1 i � = j pji · u n j u n j = P(Xn = j) Das sieht nicht nur aus wie Matrix mal Vektor, sondern entspricht dieser Schreibweise so genau, dass diese auch mathematisch korrekt ist und sich mit der ursprünglichen Definition deckt. (ohne Beweis) u n+1 = u n · P . = u n−1 · P 2 = u 0 · P n+1 Mit Hilfe der Übergangsmatrix, die aus den einzelnen Übergangswahrscheinlichkeiten pij besteht, lässt sich also aus jeder Startverteilung die Verteilung nach einer bestimmten Schrittzahl errechnen. Die Matrix P ist im Mausbeispiel: ⎛ 0 ⎜ P = ⎜ ⎝ 1 1 0 0 2 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 1 ⎞ ⎟ 1 1 0 ⎠ 3 3 3 0 0 0 0 1 Bestimmung der Gewinnwahrscheinlichkeit für große n In P n = (˜pij) findet sich in jedem Eintrag ˜pij die Wahrscheinlichkeit, bei Start in i nach n Schritten im Endzustand j zu enden. Multipliziert man Startvektoren an P n , lassen sich die gemeinsamen Gewinnwahrscheinlichkeiten direkt ablesen. 5
Seite 1 und 2: Markov-Ketten Nach Andrej Andrejewi
Seite 3: Anwendung und Rechenregeln anhand v
Seite 7 und 8: Markovketten und biologische Netzwe
Seite 9 und 10: Zeitliche Entwicklung der Wahrschei
Seite 11 und 12: Die Übergangswahrscheinlichkeiten

Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?