Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind bekannt:
pi,i−1 = i · κ − · △t
pi,i+1 = i · κ + · △t
Man sieht, dass der erste Summand gleich 0 ist. Auch die zweite Zeile läßt sich technisch mit ’0 mal
irgendwas’ auffüllen. Daraus erbigt sich:
� A(t + △t) � =
=
=
∞� �
(k + 1) · pk,k+1 · + (k − 1) · pk,k−1 + k · (1 − pk,k+1 − pk,k−1) � · Pk(t)
k=1
∞� �
pk,k+1 − pk,k−1 + k � · Pk(t)
k=1
∞� � �
+ −
k · κ · △t − k · κ · △t + k · Pk(t)
k=1
= △t(κ + − κ − ) ·
∞�
k · Pk(t) +
k=1
= △t(κ + − κ − ) · � A(t) � + � A(t) �
⇔
� A(t + △t) � − � A(t) �
⇒
△t
d� A(t) �
dt
∞�
k · Pk(t)
k=1
= (κ + − κ − ) · � A(t) �
= (κ + − κ − ) · � A(t) �
Das entspricht der Differentialgleichung für den deterministischen Fall.
Stochastische Simulation
Falls die Gleichungen zu komplex werden, um sie einzeln zu analysieren, und mehr Information als der
Mittelwert gewünscht ist, kann man den SSA (stochastic simulation algorithm), der auf Daniel Gillespie
(1976) zurück geht, nutzen.
Idee des SSA
Gegeben ist eine Menge biochemischer Reaktionen Rµ (µ ∈ {1, .., M}) und eine Startverteilung der L
Molekültypen x0 ∈ N L
1. Die Propensities aµ(x) lassen sich für alle x schnell aus x und den Rµberechnen
2. Die Wartezeit auf das nächste Ereignis ist exponentialverteilt mit Parameter
λ(x) =
M�
aµ(x)
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Reaktion die Wartezeit beendet hat, ist
µ=1
ai(x)
λ(x)
Nun werden die Schritte einfach hintereinander ausgeführt.
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