Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

Alternativer Prozess (Zustandsraum nach oben beschränkt und p01 �= 0):
Beispiel: Biochemisches Netzwerk
R1 : B k1
−→ A a1(n) = (N − a) · k1
R2 : A k2
−→ B a2(n) = a · k2
Betrachtet man das Zusammenspiel von mehreren Species, ist der Markov-Prozess nicht linear miteinander
verknüpft, sondern der Zustandsraum zeigt sich als ein verzweigtes Netz.
R1 : A k1
−→ A + P a1(x = [p, a, i]) = a · k1
R2 : A+P k2
−→ I a2(x) = a · p · k2
R3 : I k3
−→ A + P a3(x) = i · k3
R4 : P k4
−→ ∅ a4(x) = p · k4
5 2 0 6
5 1 1
6 1 1
5 0 2 6 0 2
Chemical master equation
2 0 7 2 0 8 2 0
7 1 1
8 1 1
7 0 2 8 0 2
Bezeichnet x ∈ N L den Zustandsvektor (bestehend aus den Teilchenzahlen der einzelnen Species), und
sµ die Änderung bei Reaktion Rµ, also
Rµ : x ↦→ x + sµ
Dann schreiben sich die Propensities für kleine δt als
aµ(x)δt = P(x + sµ, t + δt|x, t)
Und es ergibt sich die Chemical Master Equation als Differentialgleichungssystem für die Wahrscheinlichkeiten
Px(t), zur Zeit t im Zustand x zu sein.
dPx(t)
dt = −Pn(t) ·
M�
aµ(x) +
µ=1
M�
aµ(x − sµ) · Px−sµ(t)
Diese Gleichungen kann man für einfache Systeme sofort angeben. Sie bilden die Grundlage für die
Analyse stochastischer Systeme.
8
µ=1