Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

�Wahrscheinlichkeitsmaß P auf dem messbaren Raum (Ω, A) :
P : A → [0, 1]
P(ω ∈ {6}) = 1
6
, P(ω ∈ {1, 4}) = 1
3
1
, P(’gerade Zahl’) = , ... 2
�Zustandsraum I :
Ort der Beobachtungen des stoch. Prozesses, beispielsweise I = Z. Wenn die Bewegung eines
Teilchens über wiederholtes Würfeln beschrieben wird, liegen die einzelnen Würfelergebnisse in
Ω, die aktuelle Position aber in den ganzen Zahlen Z
�σ-Algebra I auf I :
Menge aller Zustände des Prozesses, wie ’Teilchen ist rechts von Position ’100”.
�die eigentlich interessierende Zufallsvariable Xt
ergibt sich über die den Prozess charakterisierende Struktur (Vorschrift, wie die einzelnen Würfelergebnisse
zu kombinieren sind)
Z.B.: Xt = �
τ 0 ist
P(Xn+1 = ιn+1 | X0 = ι0, · · · , Xn = ιn) = P(Xn+1 = ιn+1 | Xn = ιn)
Veranschaulichung und Nutzen
pij = P(Xn+1 = ιj | Xn = ιi)
i für ιi
Das Konzept der Markov-Kette lässt sich einfach veranschaulichen und unsere Vorstellung der mikroskopischen
Welt führt häufig auf eben diese Struktur des Markov-Prozesses. Genau wie die Markov-Kette
haben auch Moleküle kein Gedächtnis.
Definition 3 - Übergangsgraph (nach Hübner):
Ein Übergangsgraph einer homogenen (alle pij sind konstant über T) Markov-Kette besteht aus allen
möglichen Zuständen als Ecken des Graphs und den mit positiver Wahrscheinlichkeit möglichen
Übergängen als gerichteten Kanten (Pfeile). An der Kante von i nach j wird jeweils der Wert pij
notiert.
i
pi j
2
j