Markov-Ketten - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer ...

Markovketten und biologische Netzwerke
Die Markov-Eigenschaft findet sich fast überall in der Natur. Viele Systeme können ausreichend über
den aktuellen Zustand und die potentiellen Reaktionen beschrieben werden. Die Vergangenheit eines
Systems spielt selten eine Rolle. (Auch nicht bei der Hysterese, da dort die Vergangenheit im System
abgespeichert wird und somit im Zustand des Systems enthalten ist.)
Beispiel: Geburten- und Sterbeprozess
In biologischen Systemen interessiert häufig die Anzahl vorhandener Teilchen oder Tiere. Wenn man
davon ausgeht, dass pro Zeitschritt nur ein Teil dazukommen oder verschwinden kann, sieht der dazugehörige
Übergangsgraph wie folgt aus:
0 1 2 3 4
p10
p12 p23 p34 p45
p21
p00 p11
p22 p33 p44
p32
Abbildung 1: Übergangsgraph zu Geburten- und Sterbeprozess in diskreter Zeit
Kontinuierliche Zeit
Einzig die diskrete Beschreibung der Zeit ist unzureichend. Natürliche Prozesse spielen sich in kontinuierlicher
Zeit ab. Und insbesondere für große n ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Ereignis
pro Zeitschritt eintritt, recht groß.
’Anpassung’:
Die Übergangswahrscheinlichkeit pij wird auf ein Intervall △t bezogen und Propensity genannt. Propensities
können auch größer als 1 werden, da sie (grob gesagt) auf die Frage antworten, wie viele
Reaktionen dieser Art im Mittel im kommenden Zeitfenster △t stattfinden.
Für jeden Zustand x lassen sich die Propensities für alle möglichen Nachfolgezustände direkt berechnen
und werden entsprechend der dazugehörigen Übergangsfunktion Rµ mit aµ(x) bezeichnet.
Die Wartezeit auf die nächste Reaktion ist damit exponentialverteilt mit Parameter λ(x) = � M
µ=1 aµ(x).
p43
a1(1) a1(2) a1(3)
0 1 2 3 4
a2(1) a2(2) a2(3) a2(4) a2(5)
Abbildung 2: Geburten- und Sterbeprozess in stetiger Zeit
Die Propensities ergeben sich aus dem modellierten System. Jeder Zustand wird nach der Anzahl
a vorhandener Teilchen vom Typ A benannt.
R1 : A κ+
−→ A + A a1(n) = a · κ +
R2 : A κ−
−→ ∅ a2(n) = a · κ −
7
p54
a1(4)