Fourier-Transformation und Frequenzanalyse
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Bildverarbeitung<br />
Herbstsemester 2012<br />
<strong>Fourier</strong>-<strong>Transformation</strong><br />
1
• <strong>Fourier</strong>reihe<br />
Inhalt<br />
• <strong>Fourier</strong>transformation (FT)<br />
• Diskrete <strong>Fourier</strong>transformation (DFT)<br />
• DFT in 2D<br />
• <strong>Fourier</strong>spektrum interpretieren<br />
FHNW bverI HS 12 - Prof. Dr. C. Stamm<br />
2
Lernziele<br />
• Sie erkennen den Nutzen der <strong>Fourier</strong>-<strong>Transformation</strong>.<br />
• Sie können die <strong>Fourier</strong>-<strong>Transformation</strong> in konkreten<br />
Beispielen einsetzen.<br />
• Sie kennen den Zusammenhang zwischen Diskretisierung<br />
<strong>und</strong> Periodizität.<br />
• Sie kennen die diskrete <strong>Fourier</strong>-<strong>Transformation</strong> (DFT).<br />
• Sie können die DFT sowohl in einer als auch in zwei<br />
Dimensionen ausprogrammieren.<br />
• Sie können DFT-transformierte Bilder analysieren <strong>und</strong> solche<br />
qualitativ selber zeichnen.<br />
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Anwendung der DFT/FFT/DCT<br />
• Bildanalyse<br />
• Bildrekonstruktion<br />
• Bildkomprimierung<br />
• Filterung<br />
– das Filtern eines Bildes (M 2 Pixel) mit einem Filter (N 2<br />
Pixel) basiert oft auf der Anwendung der<br />
Faltungsoperation im Bildraum mit Aufwand O(M 2 N 2 )<br />
– durch die Verwendung der FFT kann der Aufwand auf<br />
O(M 2 log M) reduziert werden<br />
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4
Frequenz, Amplitude, Phase<br />
• Beispiel a sin(� x – �)<br />
• Kreisfrequenz: � = 2 � f<br />
• Frequenz: f = 1/T = �/(2�)<br />
• Periodenlänge: T<br />
• Amplitude: a<br />
• Phase: �<br />
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<strong>Fourier</strong>reihe<br />
• jede periodische Funktion g(x) mit einer Gr<strong>und</strong>frequenz � 0<br />
kann als unendliche Summe von harmonischen<br />
Schwingungen dargestellt werden<br />
• <strong>Fourier</strong>koeffizienten: A k, B k<br />
• <strong>Fourier</strong>analyse<br />
Berechnung der <strong>Fourier</strong>koeffizienten aus einer gegebenen<br />
Funktion g(x)<br />
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<strong>Fourier</strong>integral <strong>und</strong> -spektrum<br />
• eine nicht periodische Funktion g(x) kann als Summe von<br />
unendlich vielen Sinus- <strong>und</strong> Kosinusschwingungen<br />
dargestellt werden<br />
• das bedarf<br />
– nicht nur Vielfache von der Gr<strong>und</strong>frequenz � <strong>Fourier</strong>integral<br />
– sondern unendlich viele dicht aneinander liegende Frequenzen<br />
• Bestimmung des <strong>Fourier</strong>spektrums<br />
(<strong>Fourier</strong>koeffizientenfunktionen)<br />
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<strong>Fourier</strong>transformation (FT)<br />
• Übergang von <strong>Fourier</strong>integral zu<br />
<strong>Fourier</strong>transformation<br />
– Ausgangsfunktion g(x) <strong>und</strong> <strong>Fourier</strong>spektrum sind<br />
komplexwertige Funktionen<br />
• Vorwärtstransformation<br />
• Rücktransformation<br />
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<strong>Fourier</strong>-<strong>Transformation</strong>spaare (1)<br />
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+<br />
–<br />
Imaginärteil<br />
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Beispiel: Rücktransformation<br />
G( �)<br />
���<br />
f( x ) ���<br />
f( x ) ���<br />
f( x ) ���<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
( )<br />
��<br />
G( �) e d<br />
�<br />
��<br />
j � x �<br />
2 �<br />
( j 3 x )<br />
e ���e<br />
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( �( ����3 ) ����(<br />
����3 ) )<br />
2<br />
f( x ) ���<br />
( �j 3 x )<br />
�<br />
�<br />
�<br />
( )<br />
��<br />
�( ����3 ) e d ���<br />
�<br />
��<br />
j � x �<br />
�<br />
� �<br />
( )<br />
��<br />
�( ����3 ) e d<br />
�<br />
��<br />
j � x �<br />
cos( 3 x ) ���j sin( 3 x ) ���cos( 3 x ) ���j<br />
sin( 3 x )<br />
f( x ) ���cos(<br />
3 x<br />
)<br />
2<br />
2<br />
10
<strong>Fourier</strong>-<strong>Transformation</strong>spaare (2)<br />
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FT von diskreten Signalen<br />
• Abtastung (Sampling)<br />
– Abtastung = Multiplikation<br />
mit Kammfunktion<br />
– durch Abtastung wird aus<br />
einer kontinuierlichen<br />
Ausgangsfunktion g(x) eine<br />
diskrete Funktion<br />
• Auswirkungen<br />
– Diskretisierung im Ortsraum<br />
führt zu Periodizität im<br />
<strong>Fourier</strong>spektrum<br />
(Frequenzraum)<br />
– Invers zu: Periodizität im<br />
Ortsraum führt zu diskretem<br />
<strong>Fourier</strong>spektrum<br />
(� <strong>Fourier</strong>reihe)<br />
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Aliasing <strong>und</strong> Abtasttheorem<br />
• Diskretisierung im Ortsraum � Periodizität im Frequenzraum<br />
• falls die sich wiederholenden Spektralkomponenten im<br />
Frequenzraum nicht überschneiden, so ist eine verlustlose<br />
Rücktransformation möglich<br />
• maximal zulässige Signalfrequenz � max ist von der<br />
Abtastfrequenz � s abhängig<br />
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Spektrum des<br />
kontinuierlichen<br />
Ausgangssignals<br />
Spektrum des abgetasteten<br />
Ausgangssignals mit<br />
Abtastfrequenz � 1> 2 � max<br />
Spektrum des abgetasteten<br />
Ausgangssignals mit<br />
Abtastfrequenz � 2< 2 � max<br />
13
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Zusammenfassung (1)<br />
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Zusammenfassung (2)<br />
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Diskrete <strong>Fourier</strong>transformation (DFT)<br />
• Ausgangslage<br />
– diskretes, periodisches Signal g(u) mit M Abtastwerten<br />
• Vorwärtstransformation<br />
• Rücktransformation<br />
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• Einheiten<br />
DFT<br />
– Periodenlänge t 0: M Abtastwerte im<br />
Abstand t s<br />
– Frequenz f 0 = 1 / Mt s<br />
– Abtastfrequenz f s = 1/t s = M f 0<br />
– Wellenzahl m: 0 ≤ m < M<br />
– Kreisfrequenz � = m � 0 = 2� m f 0<br />
• Leistungsspektrum<br />
• Phasenspektrum<br />
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� G<br />
Pha( m)<br />
� arctan<br />
�<br />
�<br />
� G<br />
Im<br />
Re<br />
( m)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
( m)<br />
�<br />
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Implementierung der DFT<br />
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FFT <strong>und</strong> DCT<br />
• Zeitkomplexität der DFT<br />
– zwei verschachtelte for-Schleifen von 0 bis M<br />
– O(M 2 )<br />
• Fast <strong>Fourier</strong> Transform (FFT)<br />
– z.B. Algorithmus von Cooley <strong>und</strong> Tukey, 1965<br />
– Optimierung auf Signallängen von M = 2 k<br />
– Reduktion der Zeitkomplexität auf O(M log M)<br />
• Discrete Cosine Transform (DCT)<br />
– nur für reelle Signale geeignet<br />
– Spektrum ist auch reell<br />
– <strong>Transformation</strong> verwendet nur Kosinusfunktionen<br />
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DFT in 2D<br />
• Vorwärtstransformation<br />
• Rücktransformation<br />
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Implementierung der 2D-DFT<br />
• Umformung<br />
• eindimensionale DFT genügt<br />
– zuerst alle Zeilen eines Bildes mit der DFT transformieren<br />
– dann alle transformierten Zeilen spaltenweise mit DFT<br />
transformieren<br />
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Amplituden <strong>und</strong> Phasen<br />
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<strong>Fourier</strong>spektrum zentriert (1)<br />
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23
<strong>Fourier</strong>spektrum zentriert (2)<br />
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Geometrische Korrektur<br />
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Periodizität<br />
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2D-DFT: Beispiele (1)<br />
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2D-DFT: Beispiele (2)<br />
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2D-DFT bei Rasterbildern<br />
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29
Saliency Detection (SD)<br />
• Wo schauen wir hin?<br />
• Wo ist es interessant<br />
im Bild?<br />
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Ansatz<br />
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SD Algorithmus<br />
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Matlab Code<br />
Verfahren von Hou & Zhang, 2007<br />
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33
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SD: Resultate (1)<br />
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FHNW bverI HS 12 - Prof. Dr. C. Stamm<br />
SD Resultate (2)<br />
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Change language