Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Einführung in die Theorie der
Fourierreihen
und
Fouriertransformation
Prof. Dr. A. Spaenhauer
Prof. Dr. M. Steiner-Curtis
12. November 2013

© Copyright 2000–2007 by Andreas Spaenhauer, FHBB
© Copyright 2007–2013 by Marcel Steiner-Curtis, FHNW
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Dieses Dokument wurde nicht mit L A T E X gesetzt, sondern mit Word 2010 geschrieben.
Prof. Dr. Marcel Steiner-Curtis
FHNW Fachhochschule Nordwestschweiz
Hochschule für Technik
Bahnhofstrasse 6
CH-5210 Windisch
marcel.steiner@fhnw.ch
www.fhnw.ch/personenseiten/marcel.steiner/

Fourierreihen und Fouriertransformation
Seite i
Liebe Studierende
Ein Fachhochschulstudium in Maschinenbau ohne Fourierreihen und Fouriertransformation
wäre unvollständig. Mit diesem Modul runden Sie Ihre Mathematikausbildung ab.
Mein Ziel ist es, Ihnen eine Einführung in die Theorie der Fourierreihen und der Fouriertransformation
zu geben. Zusätzlich werde ich Ihnen viel von meinen Erfahrungen mit dieser
Theorie im Unterricht erzählen und ab und zu etwas ins Schwärmen geraten. Ich selber wende
die FFT (Fast Fourier Transformation) sehr oft selber an, wenn ich Spektren von Lärm- oder
Erschütterungssignalen anfertige und auswerte. Die DFT (Diskrete Fourier Transformation)
ist etwas vom Nützlichsten, was ich jemals in der Mathematik angetroffen habe.
Lernen heisst nicht nur zuhören und staunen, wieso der Dozent von etwas begeistert ist,
sondern auch Ihr persönlicher Einsatz muss stimmen. Das Motto muss auch hier heissen:
Übung macht den Meister. Ich erwarte von Ihnen, dass Sie zusätzlich zu den Vorlesungsstunden
noch etwa gleich viel Zeit zu Hause für die Übungen und die Nacharbeit des Kurses aufwenden.
Einige Aufgaben und Lösungen können Sie von meiner Website www.fhnw.ch/
personenseiten/marcel.steiner/ herunterladen.
Das Skriptum basiert im Wesentlichen auf dem gleichnamigen Skriptum meines Kollegen
Andreas Spaenhauer, der an der Fachhochschule beider Basel während vielen Jahren als Dozent
in der Abteilung Elektrotechnik tätig war. Hiermit möchte ich Andreas herzlich danken,
dass er mir auch auf diesem Gebiet seine Erfahrungen in Form seines Skriptum weitergegeben
hat.
Sie sind nicht mehr die ersten Studierenden, die mit diesem Skriptum arbeiten. Urteilen Sie
nicht zu hart über die Autoren (und die vorangehenden Leser), wenn Sie Fehler und Ungereimtheiten
finden, sondern teilen Sie mir diese bitte mit.
12. November 2013, Marcel Steiner-Curtis

Fourierreihen und Fouriertransformation
ii

Fourierreihen und Fouriertransformation
iii
Inhaltsverzeichnis
Liebe Studierende ........................................................................................................................ i
Inhaltsverzeichnis ...................................................................................................................... iii
Jean-Baptiste-Joseph Fourier ...................................................................................................... v
1 Einführung ......................................................................................................................... 1
2 Die reelle Fourierreihe ....................................................................................................... 7
2.1 Berechnung der Fourierkoeffizienten .......................................................................... 7
2.1.1 Beispiel (Fourierreihe)........................................................................................ 12
3 Die komplexe Darstellung der Fourierreihe .................................................................... 15
3.1 Fourierreihe ................................................................................................................ 15
3.2 Energie oder Leistung eines Signals .......................................................................... 17
3.2.1 Beispiel (Rechtecksimpulsfolge)........................................................................ 18
3.3 Lösen von partiellen Differenzialgleichungen ........................................................... 20
4 Von der Fourierreihe zur Fouriertransformation ............................................................. 27
4.1 Grenzübergang an einem konkreten Beispiel ............................................................ 27
4.2 Der Integralsatz von Fourier (komplexe und reelle Darstellung) .............................. 30
4.2.1 Beispiel (Rechtecksfenster) ................................................................................ 34
4.2.2 Beispiel (Dreiecksfunktion)................................................................................ 35
4.2.3 Beispiel (Dirac-Stoss)......................................................................................... 36
4.2.4 Beispiel (Dirac-Kamm) ...................................................................................... 37
4.2.5 Beispiel (Konstante Funktion) ............................................................................ 40
4.2.6 Beispiel (Heaviside'sche Sprungfunktion) ......................................................... 40
4.2.7 Beispiel (Sinus- und Kosinusfunktionen) ........................................................... 40
4.3 Eigenschaften der Fouriertransformation (Sätze und Regeln) ................................... 43
4.4 Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation ...................................................... 44
4.5 Amplituden- und Leistungsspektrum sowie Energie eines Signals ........................... 48
4.5.1 Beispiel (Ungerade Rechtecksschwingung) ....................................................... 48
4.5.2 Beispiel (Hammerschlag) ................................................................................... 51
5 Die diskrete Fouriertransformation (DFT) ...................................................................... 57
5.1 Einführung ................................................................................................................. 57
5.2 Berechnung der diskreten Fourierkoeffizienten......................................................... 59
5.2.1 Beispiel (Interpolierendes Fourierpolynom) ...................................................... 60
5.2.2 Beispiel (Random Signal interpolieren) ............................................................. 63
5.2.3 Explizite Lösung des Gleichungssystems - Fourierkoeffizienten ...................... 64
5.3 Die diskrete Fouriertransformation (DFT und FFT) .................................................. 67
5.3.1 Reelle Schreibweise der DFT ............................................................................. 67
5.3.2 Komplexe Schreibweise der DFT (FFT)............................................................ 68
5.3.3 Zusätzliche Bemerkungen .................................................................................. 69
5.3.4 Matlab-Befehle ................................................................................................... 69
5.3.5 Beispiel (Reelle vs komplexe Matlab-Fourierkoeffizienten) ............................. 71
5.4 Abtastwerte in einem beliebigen Intervall [a, a + T] ................................................. 73

Fourierreihen und Fouriertransformation
iv
5.4.1 Beispiel (Abgetastete Werte in einem beliebigen Intervall) .............................. 74
5.5 Beispiele und Anwendungen ..................................................................................... 76
5.5.1 Beispiel (Entstörung eines Signals) ................................................................... 76
5.5.2 Beispiel (Filterung eines Signals) ...................................................................... 78
6 Anhang: Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten ................................................... 81
7 Anhang: Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ............................................ 85
8 Anhang: Reduktion des Rechenaufwandes durch FFT ................................................... 89
9 Anhang: Auszug aus der Matlab-Dokumentation ........................................................... 93
10 Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 97

Fourierreihen und Fouriertransformation
v
Jean-Baptiste-Joseph Fourier
Biographie aus The Fourier Transform and its Applications, Ronald N. Bracewell, McGraw-
Hill.
Abbildung 1: Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier,
born: March 21, 1768 in Auxerre, France,
died: May 16, 1830, France.
Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier (March 21, 1768-May 16, 1830), born in poor circumstances
in Auxerre, introduced the idea that an arbitrary function, even one defined by different
analytic expressions in adjacent segments of its range (such as a staircase waveform),
could nevertheless be represented by a single analytic expression. This idea encountered resistance
at the time but has proved to be central to many later developments in mathematics,
science, and engineering. It is at the heart of the electrical engineering curriculum today.
Fourier came upon his idea in connection with the problem of the flow of heat in solid bodies,
including the earth.
The formula
1 1 1
x = sin x − sin ( 2 x) − sin ( 3 x) +
2 2 3
was published by Leonhard Euler (1707-1783) before Fourier's work began, so you might like
to ponder the question why Euler did not receive the credit for Fourier's series.
Fourier was obsessed with heat, keeping his rooms uncomfortably hot for visitors, while
also wearing a heavy coat himself. Some traced this eccentricity back to his 3 years in Egypt,
where he went in 1798 with the 165 savants on Napoleon's expedition to civilize the country.
Prior to the expedition Fourier was a simple professor of mathematics, but he now assumed
administrative duties as secretary of the Institut d'Egypte, a scientific body that met in
the harem of the palace of the Beys. Fourier worked on the theory of equations at this time
but his competence at administration led to political and diplomatic assignments that he also
discharged with success. It should be recalled that the ambitious studies in geography, ar-

Fourierreihen und Fouriertransformation
vi
chaeology, medicine, agriculture, natural history and so on were being carried out at a time
when Napoleon was fighting Syrians in Palestine, repelling Turkish invasions, hunting Murad
Bey, the elusive Mameluke chief, and all this without support of his fleet, which had been
obliterated by Nelson at the Battle of the Nile immediately after the disembarkation.
Shortly before the military capitulation in 1801, the French scientists put to sea but were
promptly captured with all their records by Sidney Smith, commander of the British fleet.
However, in accordance with the gentlemanly spirit of those days, Smith put the men ashore,
retained the documents and collections for safekeeping, and ultimately delivered the material
to Paris in person, except for the Rosetta stone, key to Egyptian hieroglyphics, which stands
today in the British Museum memorializing both Napoleon's launching of Egyptology and his
military failure.
The English physicist Thomas Young (1773-1829), father of linearity, is well known for establishing
the transverse wave nature of light, explaining polarization, and also for introducing
the doublt/pinhole interferometer, which exhibits the Fourier analysis of an optical object.
Less well known is that he shared an interest in Egyptology with Fourier: he worked on the
Rosetta stone, explained the demotic and hieratic scripts as descended from hieroglyphic
writing, and isolated and identified consonantal signs.
Fourier was appointed as Prefect of Isere by Napoleon in 1802 after a brief return to his
former position as Professor of Analysis at the Ecole Polytechnique in Paris. His duties in
Grenoble included taxation, military recruiting, enforcing laws, and carrying out instructions
from Paris and writing reports. He soothed the wounds remaining from the Revolution of
1789, drained 80 000 km 2 of malarial swamps, and built the French section of the road to
Torino.
By 1807, despite official duties, Fourier had written down his theory of heat conduction,
which depended on the essential idea of analyzing the temperature distribution into spatially
sinusoidal components; but doubts expressed by Laplace and Lagrange hindered publication.
Criticisms were also made by Biot and Poisson. Even so, the Institut set the propagation of
heat in solid bodies as the topic for the prize in mathematics for 1811, and the prize was
granted to Fourier but with a citation mentioning lack of generality and rigor. The fact that
publication was then further delayed until 1815 can be seen as an indication of the deep uneasiness
about Fourier analysis that was felt by the great mathematicians of the day.
It is true that the one-dimensional distribution of heat in a straight bar would require a
Fourier integral for its correct expression. Fourier avoided this complication by considering
heat flow in a ring, that is, a bar that has been bent into a circle. In this way, the temperature
distribution is forced to be spatially periodic.
There is essentially no loss of generality because the circumference of the ring can be supposed
larger than the greatest distance that could be of physical interest on a straight bar
conducting heat. This idea of Fourier remains familiar as one of the textbook methods of
approaching the Fourier integral as a limit, starting from a Fourier series representation.
Fourier was placed in a tricky position in 1814, when Napoleon abdicated and set out for
Elba with every likelihood of passing southward through Grenoble, on what has come to be
known today as the Route Napoleon. To greet his old master would jeopardize his standing
with the new king, Louis XVIII, who in any case might not look favorably on old associates
and appointees of the departing emperor. Fourier influenced the choice of a changed route
and kept his job. But the next year Napoleon reappeared in France, this time marching north
through Grenoble where he fired Fourier, who had made himself scarce. Nevertheless, 3 days
later Fourier was appointed Prefect of the Rhone at Lyons, thus surviving two changes of
regime. Of course, only 100 days elapsed before the king was back in control and Napoleon

Fourierreihen und Fouriertransformation
vii
was on his way to the south Atlantic, never to return. Fourier's days in provincial government
then ended and he moved to Paris to enter a life of science and scientific administration, being
elected to the Academie des Sciences in 1817, to the position of permanent secretary in
1823, and to the Academie Française in 1826. He never married.
At the beginning mention was made of Euler's formula. The formula is correct for π < x <
π but not for other ranges of x. The right hand side is the Fourier series for the sawtooth periodic
function
⎛ x ⎞ ⎞ ⎛
⎟ ⎞
⎜ ⎛ x
⎟ ∗ 1 x
⎜ ⎟Π ΙΙΙ
⎜ .
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2π ⎠ 2π
⎝ 2π
⎠
Fourier wrote, around 1808-1809: “the equation is no longer true when the value of x is
between π and 2π. However, the second side of the equation is still a convergent series but the
sum is not equal to x/2. Euler, who knew this equation, gave it without comment.” (Quotation
from J. Herivel, Joseph Fourier, the Man and the Physicist, Clarendon Press, Oxford, 1975,
p. 319.)

Fourierreihen und Fouriertransformation
viii

Fourierreihen und Fouriertransformation 1
1 Einführung
Die Theorie der Fourierreihen erlaubt es, ein periodisches Signal (Funktion) in eine unendliche
Summe (Reihe) von harmonischen Schwingungen zu zerlegen. Unter einer harmonischen
Schwingung ist eine Funktion/Signal mit einer Funktionsgleichung der Form
f ( t) = Acos
( ω t)
oder
f ( t) = B sin ( ω t)
oder
f ( t) = Acos
( ω t) + B cos ( ω t) = C cos ( ω t + ϕ)
d. h. phasenverschobene Sinus- oder Kosinusfunktionen zu verstehen, aber nicht
f ( t) = Acos ( ω t) + B cos ( 3ω
t)
.
Die harmonischen Schwingungen sind bemerkenswerte Funktionen. Sie haben keine
Sprünge, Ecken oder Kanten. Wir können sie ableiten und integrieren so oft wir wollen
ohne eckig oder kantig zu werden. Dabei reproduzieren sie sich ständig, d. h. sie bleiben
Sinus- oder Kosinusfunktionen. In der Physik und Elektrotechnik begegnen wir oft periodischen
Funktionen, allerdings nicht unbedingt Sinus- oder Kosinusfunktionen sondern
vielleicht Signalen wie in Abbildung 2.
Abbildung 2: Periodische Signale.
In Abbildung 3 ist das erste Signal von Abbildung 2 gezeichnet zusammen mit immer
besseren Approximationen durch Summen von harmonischen Schwingungen. Der Einfachheit
halber haben wir die Periode 2π gewählt. Die Funktionsgleichungen der Approximationen
lauten:
4
1. Approximation: f1( t) = sin ( t)
π
4 4 4
2. Approximation: f 2
( t) = f1( t) + sin ( 3t
) = sin ( t) + sin ( 3t
)
3π
π 3π
4 4 4 4
3. Approximation: f3( t) = f 2
( t) + sin ( 5t
) = sin ( t) + sin ( 3t
) + sin ( 5t
)
5π
π 3π
5π

Fourierreihen und Fouriertransformation 2
Abbildung 3: Die linken Bilder zeigen jeweils eine Periode des Rechtecksignals f (t) zusammen
mit den Approximationen der Form
n
4 1
f
n
( t) = ∑ sin( ( 2k
−1)
t)
π 2k
−1
k = 1
Mit zunehmendem n verbessern sich die Approximationen. Dies ist auch ersichtlich aus
den Bildern rechts wo jeweils die Differenzen f (t ) – f n (t ) eingezeichnet sind. Die relativ
grossen Differenzen bei den Sprungstellen verschwinden nie ganz (so genanntes Gibbs
Phänomen).
Weil die Funktion f ungerade ist, ist es verständlich, dass nur Sinusfunktionen vorkommen,
denn auch die Sinusfunktionen sind ungerade. Dass der erste Beitrag (mit der grössten
Amplitude) dieselbe Periode (in diesem Fall 2π), im allgemeinen Fall

Fourierreihen und Fouriertransformation 3
T = 2π
/ ω0
hat wie die Funktion f ist ebenfalls verständlich. Die exakte Reproduktion von f würde
theoretisch erst durch eine unendliche Summe, d. h. eine unendliche Reihe erreicht werden.
Diese unendliche Reihe wird die Fourierreihe von f genannt. Sie lautet in diesem Fall
f
( t) 2 u ( t − k) − 1
= ∑ ∞
k =−∞
4 ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜sin(
t)
+ sin(3t)
+ sin(5t)
+ ... ⎟
π ⎝ 3 5 ⎠
4 1
= sin (( 2n
−1)
t)
π 2n
−1
∑ ∞
n=
1
Im allgemeinen Fall, wenn das Signal weder gerade noch ungerade ist, wird die Fourierreihe
Sinus- und Kosinusfunktionen enthalten und die allgemeine Fourierreihe einer solchen
beliebigen periodischen Funktion f mit Periode T = 2π
/ ω0
wird lauten
f
a
0
( t) = + ( a cos( nω
t) + b sin ( nω
t)
)
∑ ∞
2 n = 1
n
Die Koeffizienten a n und b n werden die Fourierkoeffizienten von f genannt. Die Fourierkoeffizienten
bestimmen die Amplitude der Schwingung mit der betreffenden Frequenz
nω 0 . Die Amplituden
A = a + b
n
geben an, mit welcher Stärke die betreffende Frequenz im Signal vorkommt. Wie sie berechnet
werden, wird im nächsten Abschnitt angegeben.
Die Bestimmung der Fourierreihe eines periodischen Signals ermöglicht eine spektrale
Analyse des Signals. Wir sprechen von Spektralanalyse.
2
n
0
2
n
n
0
Die Abhängigkeit A n (n) wird das Amplitudenspektrum des Signals f genannt. Im obigen
Beispiel der Rechteckswelle ergibt sich.
f
( t) 2 u ( t − k) − 1
= ∑ ∞
k = −∞

Fourierreihen und Fouriertransformation 4
Abbildung 4: Amplitudenspektrum der
Rechteckswelle. Da nur Sinusterme vorkommen,
gilt
4
An
= bn
=
π 2n
−1
( ) .
Die Terme im Summenzeichen können pro n (gleiche Frequenz) auch als phasenverschobene
Sinus- oder Kosinus-Schwingungen geschrieben werden. Das kann auf mehrere Arten
gemacht werden.
a n cos(nω 0 t )+b n sin(nω 0 t )
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
a
a
a
a
2
n
2
n
2
n
2
n
+ b
+ b
+ b
+ b
2
n
2
n
2
n
2
n
cos( nω
t + ϕ ),
cos( nω
t − ϕ ),
sin( nω
t + ϕ ),
0
sin( nω
t − ϕ ),
0
0
0
n
n
n
n
b
tan( ϕ
n
) = −
a
b
tan( ϕ
n
) =
a
a
tan( ϕ
n
) =
b
n
n
n
n
a
tan( ϕ
n
) = −
b
n
n
,
,
n
n
,
cos
cos
,
cos
( ϕ )
( ϕ )
( ϕ )
cos
n
n
n
=
=
( ϕ )
n
=
=
a
a
a
2
n
2
n
a
2
n
a
b
n
+ b
+ b
n
+ b
2
n
a
b
n
n
2
n
2
n
+ b
2
n
2
n
Den Term für n = 1, d. h.
oder
( ω t) + b ( ω t)
a1 cos
0 1
sin
0
A
( ω t + )
cos ϕ
1 0 1
wird die Grundwelle genannt. Ihre Frequenz ist gleich der Frequenz des Signals.
Die Terme für n > 1, d. h.
an cos( nω 0
t) + bn
sin ( nω0
t)
oder
A cos nω t + ϕ
n
( )
0
n

Fourierreihen und Fouriertransformation 5
werden die n te Harmonische oder die (n – 1) te Oberwelle genannt. Die Frequenzen der
Oberwellen sind natürliche Vielfache der Grundwellenfrequenz.

Fourierreihen und Fouriertransformation 6

Fourierreihen und Fouriertransformation 7
2 Die reelle Fourierreihe
2.1 Berechnung der Fourierkoeffizienten
Sei f ein beliebiges, periodisches Signal mit der Periodendauer T = 2π
/ ω0
. Gesucht ist
eine Darstellung von f in der Form
a0
+ a cos( nω t)
+ b sin( nω
t)
,
∑ ∞
2 n=
1
f (t ) = ( )
n
d. h. eine Berechnungsvorschrift für die Koeffizienten a n und b n . Ein ähnliches Problem
hatten wir schon bei den Potenzreihen. Die Potenzreihenentwicklung einer Funktion f ist
sehr nützlich, wenn es darum geht, für beliebige (z. B. nicht periodische) Funktionen approximative
Funktionswerte in der Nähe eines Punktes x 0 zu berechnen. Wir können dann
die Funktion in eine Potenzreihe um diesen Punkt entwickeln, d. h.
2
3
( x) = a + a ( x − x ) + a ( x − x ) + a ( x − x ) + = a ( x − x )
f
0
1
0
2
0
Die Berechnung der a n geschah über die Werte der n ten Ableitungen von f
1
f (x) = f (x 0 ) + f ' (x 0 ) (x – x 0 ) + f '' (x 0 ) (x – x 0 ) 2 + ... = 2
∑ ∞ ( n)
⎛ f ( x ⎞
0
)
n
⎟
⎜ ( x − x0
)
,
n=
0 ⎝ n!
⎠
d. h.
( n
f )
( x0
)
an =
n!
Bei unserem jetzigen Problem sind die Potenzfunktionen mit ihrer Eigenschaft, dass
lim f ( x) = ± ∞
x → ±∞
für eine Approximation nicht geeignet, denn wir wollen gute Approximationen für periodische
Funktionen. Es ist besser, als approximierende Funktionen die Sinus- und Kosinusfunktionen
zu nehmen, weil diese schon periodisch sind. Wir sprechen von einer trigonometrischen
Approximation und in diesem Fall können wir nicht einfach Ableiten wie
bei den Potenzreihen, sondern wir müssen uns einen anderen Trick für die Berechnung
von a n und b n einfallen lassen.
Dazu müssen gewisse Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktionen benutzt werden:
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
2π
∫
0
3
0
n
0
0
∑ ∞
n = 0
sin( nt)sin(
mt)
dt = 0
n
0
n
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
für alle n, m ∈ N ist
für alle n ∈ N + ist
2π
∫
0
2π
∫
0
2π
∫
0
cos( nt)cos(
mt)
dt = 0
sin( nt)cos(
mt)
dt = 0
sin
2
2π
( nt)
dt = ∫ cos
0
2
( nt)
dt = π

Fourierreihen und Fouriertransformation 8
Dieselben Formeln gelten auch, wenn die Periode nicht 2π ist sondern T = 2π
/ ω0
ist.
Dann gelten die folgenden Formeln.
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
T
∫
0
sin( nω0 t)sin(
mω0t)
dt = 0
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
für alle n, m ∈ N ist
für alle n ∈ N + ist
T
∫
0
T
∫
0
T
∫
0
cos( nω0 t)cos(
mω0t)
dt = 0
sin( nω t)cos(
mω
t dt = 0
0 0
)
T
2
2 T
sin ( nω0t)
dt = ∫ cos ( nω0t)
dt = 2
0
Zusammenhang mit der Vektorgeometrie
Die jeweils rechts stehenden bestimmten Integrale ordnen jeweils zwei Funktionen f und
g einen bestimmten Wert zu, nämlich
2π
∫
0
( t) g( t)
f dt .
Es besteht eine Analogie zur Theorie der Vektorräume wo ebenfalls jeweils zwei Vektoren
einer bestimmten Zahl zugeordnet werden können, nämlich das Skalarprodukt. In der
Tat ist es möglich, die wesentliche Struktur eines Vektorraumes, bestehend aus Vektoren,
auf eine Funktionenmenge zu übertragen. Es können gewisse Funktionenmengen wie
z. B. die Menge aller in einem Intervall stückweise stetigen Funktionen oder die Menge
aller in einem Intervall integrierbaren Funktionen zu einem abstrakten Vektorraum machen.
Es wird von Funktionenräumen gesprochen. Im Gegensatz zu den anschaulichen
Vektorräumen R 2 und R 3 sind solche Funktionenräume unendlich dimensional, d. h. die
Basis des Funktionenraums besteht aus (abzählbar) unendlich vielen Vektoren. Natürlich
muss erklärt werden, was unter Summe, Differenz, Multiplikation mit einem Faktor und
eben Skalarprodukt zweier Funktionen zu verstehen ist. Das ist problemlos möglich.
Tabelle 1: Analogie zwischen Vektorraum und Funktionenraum.
Vektoren a b
, ←⎯
Analogie ⎯
→ Funktionen f, g
Summe
a + b
( f + g )(t) = f (t) + g(t )
Differenz
a − b
( f – g )(t) = f (t) – g(t )
Faktor α a (α f )(t) = α f (t)
Skalarprodukt
a b
3
2π
= ∑ a b f , g = n n
∫ f ( t)
g(
t)
dt
n = 1
0
Wenn diese Analogie hergestellt wird, dann können viele anschauliche Begriffe und Sätze
direkt übertragen werden. Zum Beispiel kann von orthogonalen oder orthonormalen

Fourierreihen und Fouriertransformation 9
Funktionen oder Funktionenmengen gesprochen werden oder lineare Abhängigkeit und
Unabhängigkeit von Funktionen können definiert werden oder die Projektion einer Funktion
auf einen Funktionenunterraum kann definiert werden. Orthogonal bedeutet, dass das
Skalarprodukt gleich null ist. Zwei Funktionen sind dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt,
d. h. wenn
2π
f , g = ∫ f ( t)
g(
t)
dt = 0.
0
In dieser Terminologie bilden also die Funktionen sin(m t ) und cos(n t ) ein so genanntes
orthogonales Funktionensystem.
Doch jetzt zurück zu unserem eigentlichen Problem, die Koeffizienten a n und b n in der
Darstellung
a0
f t = + a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t)
zu berechnen.
( ) ( )
∑ ∞
2 n=
1
n
Idee
Wir multiplizieren links und rechts mit einem cleveren Term und integrieren anschliessend
über eine Periode T. Die Berechnung von b 15 ergibt sich z. B. aus:
0
n
0
1. Multiplikation mit sin(15ω 0 t) links und rechts.
a0
f(t) sin(15ω 0 t) = sin(15ω0 t) + 2
∑ ∞ a
=1
n
n
cos( nω
0
t)sin(15ω
0t)
+ ∑ ∞ bn
sin( nω
t)sin(15ω
0t
n=1
2. Integration links und rechts über eine Periode ergibt
T
T
a0
∫ f ( t)sin(15ω 0
t)
dt = sin(15
0
)
2
∫ ω t dt
0
0
+ ∑ an∫
= 0
0
)
∞ ⎛ T ⎛
⎞
⎟ ⎟ ⎞
⎜ ⎜cos(
nω
⎟
0
t)sin(15ω
0t)
dt
⎜ ⎜
⎟
n=
1 0
⎝ ⎝
= 0 ⎠ ⎠
∞ T
⎛
⎞
+ ∑⎜bn
n t t dt ⎟
∫sin(
ω
0
)sin(15ω
0
)
n=
1
⎝
0
⎠
T
2
= b15 ∫
sin (15ω0t)
dt
+
0
∞ T
⎛
⎞
∑⎜bn
n t t dt ⎟
∫sin(
ω0
)sin(15ω
0
)
n=
1
⎝
0
⎠
T
2
= b15 ∫
sin (15ω0t)
dt
0

Fourierreihen und Fouriertransformation 10
also folgt
T
∫
0
und damit folgt
T
f ( t )sin(15ω
0
t ) dt = b 15∫
2
T
sin (15ω 0t)
dt = b 15
2
T
∫
2
b 15 = f t
0
t
T ( )sin(15 ω ) dt.
0
Ein analoges Vorgehen für die anderen Terme liefert:
und
b n =
a n =
T
∫
0
2
f t n
0
t
T ( )sin( ω ) dt für n∈N
0
T
∫
2
f ( t)cos(
nω0 t)
dt für n∈N 0
T 0
Diese mathematische Begründung für die Berechnung der Fourierkoeffizienten kann auch
anschaulich begründet werden.
Der Koeffizient b 15 z. B. ist die Amplitude der Harmonischen mit Frequenz 15ω 0 , d. h.
b 15 ist ein Mass für den Anteil oder der Stärke, mit welcher diese Harmonische im Signal
steckt, d. h. mit diesem übereinstimmt. Ist die Abweichung vom Signal gross, dann wird
b 15 klein sein und umgekehrt. Was mathematisch gemacht wird, ist genau dieses Mass der
Übereinstimmung zu messen. Es wird f mit sin(15ω 0 t ) multipliziert und anschliessend
dieses Produkt über eine Periode integriert. Wenn f und sin(15ω 0 t ) gut übereinstimmen
(z. B. nur schon gleiches Vorzeichen), dann wird das Integral grösser sein als wenn f (t)
und sin(15ω 0 t ) schlecht übereinstimmen.
a0
Es ist der Mittelwert von f über eine Periode, d. h.
2
a 1 = ∫ f ( t)
dt
T 0
0
2
T
=
T
∫
0
f ( t)
dt
T
= f
Zusammenfassung des Resultats
Sei f eine periodische R → R (oder R → C) Funktion mit der Periode T = 2π
/ ω0
und in
jedem Punkt soll die links–und rechtsseitige Ableitung existieren 1 . Dann kann f als so genannte
(unendliche) Fourierreihe dargestellt werden, d. h.
∞
∞
a0
f t = + a cos nω
t + b sin nω
t
( ) ( ) ( )
∑
und die Koeffizienten berechnen sich mit
∑
n
0
2 n=
1
n=
1
n
0
1 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), französischer Mathematiker, hat bewiesen, dass
dies hinreichend ist für Konvergenz der Fourierreihe.

Fourierreihen und Fouriertransformation 11
a
n
2
=
T
2
bn
=
T
T
∫
0
T
∫
0
f
f
( t ) cos( nω
t)
für
n∈
N
( t ) sin( nω
t ) dt für n∈
N
Die Zahlen a n und b n werden die Fourierkoeffizienten von f genannt. An eventuellen
Sprungstellen t 0 ist der Wert der Fourierreihe gleich
+
−
f ( t0
) + f ( t0
)
.
2
In allen stetigen Punkten t konvergiert die Fourierreihe gegen f.
Kurzum. Die üblichen in der Praxis auftretenden periodischen Funktionen (stückweise
stetig, keine Pole, etc.) lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln.
0
0
dt
0
Bemerkungen
• Weil
und
T
∫
0
T
∫
0
f
T + T
0
( t ) cos( nω
0t) dt = ∫ f ( t ) cos( nω
0t)
f
T0
T + T
0
( t ) sin( nω
0t) dt = ∫ f ( t ) sin( nω
0t)
T0
können die Integrale an irgendeiner Stelle T 0 über eine Periode genommen werden.
Die obige Darstellung besteht aus unendlich vielen Termen.
• Wenn wir aus praktischen Gründen an einer besten Approximation durch endlich
viele Sinus- und Kosinusterme interessiert sind, dann können wir natürlich nach
endlich vielen Termen abbrechen, denn es kann gezeigt werden, dass
lim a = lim b = 0 .
n → ∞
n
n → ∞
Wenn wir die oben definierte Fourierreihe nach endlich vielen Termen abbrechen,
dann sprechen wir von einer endlichen Fourierreihe und es entsteht als Approximation
ein so genanntes trigonometrisches Polynom f n vom Grade n oder auch vom
Fourierpolynom. In Abbildung 3 waren solche approximierenden trigonometrischen
Polynome dargestellt. Eine Approximation durch eine solche endliche Fourierreihe
ist die beste Approximation, wenn 'beste' im so genannten least square Sinn definiert
wird.
• Es kann gezeigt werden, dass das trigonometrische Polynom f n , welches durch
Abbruch der (unendlichen) Fourierreihe entsteht, das folgende Integral minimiert
• Es könnte auch
2
mittlerer quadratischer Fehler ( f ( t ) f ( t )) dt
T
∫
0
f
n
T
=∫ −
0
( t ) − f ( t ) dt
n
dt
dt
n

Fourierreihen und Fouriertransformation 12
genommen werden, d. h. der Betrag der Differenzfläche, aber das Rechnen mit
Beträgen ist wegen der Fallunterscheidungen extrem mühsam.
Wir sprechen auch von einer least square Approximation. In diesem Sinne können wir
also folgendes festhalten.
Least square Approximation einer periodischen Funktion
Die beste least square Approximation einer periodischen (und integrierbaren) Funktion f
mit der Periode
2π
T =
ω0
durch ein trigonometrisches Polynom f n ist die nach endlich vielen Termen abgebrochene
Fourierreihe, d. h.
n
n
a0
f ( t ) ~ f
n
( t ) = + ∑ ak
cos( kω
0t) + ∑bk
sin( kω0t)
2
k = 1
und die Koeffizienten berechnen sich gemäss
a
k
2
=
T
2
bk
=
T
T
∫
0
T
∫
0
f
f
( t ) cos( kω
t)
dt
für
k = 1
k ≤ n
( t ) sin( kω
t ) dt für k ≤ n
Solche Approximationen sind sehr nützlich, wenn z. B. Temperaturschwankungen im
Verlauf eines Tages oder Temperaturverteilungen in Stäben oder Platten etc. mathematisch
modellieren werden sollten oder wenn der Output eines Linearen Schwingkreises
bei irgendeinem periodischen Input berechnet werden möchte. Sie sind aber nicht geeignet,
wenn bei einem Signal die abgetasteten Werte exakt reproduzieren werden sollten.
Das ist ein Interpolationsproblem, denn es sollte an n äquidistanten Stellen die exakten
Funktionswerte reproduziert werden. Dieses Problem wird von der so genannten diskreten
Fouriertransfomation gelöst (FFT ist ein möglicher und sehr schneller Algorithmus
für die Berechnung dieser diskreten Fouriertransformation).
0
0
2.1.1 Beispiel (Fourierreihe)
Es sei die Funktion
gegeben, vgl. Abbildung 5.
f (t ) =
⎧ 2
⎪
t,
T
⎨
⎪
1,
⎩
T
0 ≤ t <
2
T
≤ t < T
2

Fourierreihen und Fouriertransformation 13
Abbildung 5: Die periodische Funktion f.
Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, d. h. ihre Fourierreihe wird Sinus- und
Kosinusterme enthalten. Wir berechnen den Mittelwert der Funktion über eine Periode
T
a0
1
3
= f t dt
T
∫ ( ) =
2
4
und
a n =
T
∫
0
2
f ( t)cos(
nω0 t)
dt
T 0
und
=
b n =
⎛
2 ⎜ 2
⎜
T ⎜ T
⎝
1
( nπ
)
T
2
∫
0
t cos( nω
= ( cos( nπ
) 1)
T
∫
2
−
2
f ( t)sin(
nω0 t)
dt
T 0
T
0
t)
dt +∫ cos( nω0t)
T
2
⎞
⎟
dt ⎟
⎟
⎠
T
⎛
⎞
⎜ 2
T
2 2
⎟
= ⎜ ∫t
sin( nω
0
t)
dt +∫sin(
nω0t)
dt ⎟
T ⎜ T
0
T
⎟
⎝
2 ⎠
1
= − .
nπ
Damit folgt
3 2 ⎛ 1
1
⎞ 1 ⎛ 1
⎞
f(t) = − ⎜cos(
ω0t)
+ cos(3ω
0t)
+ cos(5ω
0t)
+ ...
2 2
2
⎟ − ⎜sin(
ω0t)
+ sin(2ω
0t)
+ ... ⎟
4 π ⎝ 3
5
⎠ π ⎝ 2
⎠
oder etwas vereinfacht geschrieben
∞
∞
3 2 1
1 1
f ( t)
= − ∑ cos( ( 2n−1
) ω0t) − ( )
2 2
( )
∑ sin nω0t
4 π n = 1 2n−1
π n = 1 n
Das Ampitudenspektrum von f wird wie folgt berechnet.
Der so genannte Gleichstromanteil ist
0 3
A
0
= a =
2 4
und die restlichen Amplituden sind

Fourierreihen und Fouriertransformation 14
A = a + b
d. h.
4 1 1
2
A
1
= + = 4 + π = 0.377
4 2 2
π π π
n
1
A =
2 π
2
n
2
=
2
n
0.159
2
9π
+ 4
A
3
= = 0.108
2
9π
1
A
4
= = 0.080
4 π
2
25π
+ 4
A5 = = 0.064
2
25π
und so weiter. Damit ergibt sich das Amplitudenspektrum in Abbildung 6.
Abbildung 6: Amplitudenspektrum der
Funktion f.

Fourierreihen und Fouriertransformation 15
3 Die komplexe Darstellung der Fourierreihe
3.1 Fourierreihe
In der Signalverarbeitung ist es üblich, die Fourierreihe eines Signals in der komplexen
Form darzustellen (keine Ausnahmeregeln beim Ableiten oder Integrieren). Die Darstellung
wird kompakter weil rechnerisch nicht zwischen Sinus- und Kosinustermen unterschieden
werden muss sondern nur noch komplexe Exponentialterme e ω
− j nω
t
j n t
und e
auftreten, welche sehr einfach zu integrieren und differenzieren sind. Auch Produkte von
Sinus- und Kosinusfunktionen mit Exponentialfunktionen werden zu allgemeinen (komplexen)
Exponentialfunktionen.
Am Anfang war Leonard Euler mit
e j x = cos(x) + j sin(x)
e j ω t = cos(ω t) + j sin(ω t)
e –j ω t
= cos(ω t) – j sin(ω t)
und weil wir nach cos(ω t) und sin(ω t) auflösen wollen
e j ω t + e –j ω t = 2cos(ω t)
also
cos(ω t ) = 2
1 (e
j ω t + e –j ω t )
und
also
e j ω t – e –j ω t = 2j sin(ω t)
sin(ω t ) =
1 (e
j ω t – e –j ω t 1
) = – j(e
j ω t – e –j ω t ).
2 j
2
Wenn diese Ausdrücke für cos(ω t) und sin(ω t) in der reellen Fourierreihe eingesetzt werden,
ergibt sich
∞
∞
a0
f (t) = + a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t)
Wenn nun
und
∑
∑
n
0
2 n=
1
n=
1
∞
∞
a0 1 jnω0t
− jnω0t
1 jnω0t
− jnω0t
= + ∑ an
( e + e ) −∑bn
j( e − e )
2 n=
1 2
n=
1 2
∞
∞
0 ⎛ an
bn
⎞ jnω
⎛ ⎞
0t
an
bn
− jnω0t
+ ∑⎜
− j ⎟e
+ ⎜ + j ⎟e
2 n=
1 ⎝ 2 2 ⎠
n=
1 ⎝ 2 2 ⎠
∞
∞
0 1
jnω0t
1
− jnω0t
+ ∑ an
− jbn
e + ∑ an
+ jbn
e
2 n=
1 2
n=
1 2
a
= ∑
a
= ( ) ( )
c n = 2
1 (an – jb n )
n
0

Fourierreihen und Fouriertransformation 16
c * 1
n = (an + jb n ) = c –n
2
vereinbart werden, dann folgt für
c
n
⎛
= ⎜
2
⎝
1 T
T
T
2
2
1
∫ f
0
T
T
∫
0
T
∫
ω
0 0
0
− jn
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
0t
t cos nω
t dt − j f t sin nω
t dt = e f ( t )
Und wir gelangen zur komplexen Darstellung der Fourierreihe.
Zusammenfassung des Resultats
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe
f (t ) =
und die c n berechnen sich gemäss
a
∞
∞
0 jnω0t
* − jnω0t
+ ∑c
n
⋅ e + ∑c
n
⋅ e
2 n=
1
n=
1
c
n
1
=
T
T
∫
0
f
− jnω
t
( t) e dt,
n∈Z.
⎞
⎟
⎠
= ∑ ∞
−∞
n=
⋅ e
jnω0t
c
n
dt
Bemerkungen
• Für die harmonischen Funktionen sind fast alle Fourierkoeffizienten gleich null.
Die komplexen Fourierreihen von harmonischen Funktionen bestehen aus zwei
Gliedern:
1 jωt
− jωt
cos ω t = e + e ,
2
und
f (t ) = ( ) ( )
1 jωt
− jωt
f (t) = ( ω t) = − j ( e −e
)
sin
2
,
cos ω t + sin ω t
1
jωt
1
− jωt
= ( 1− j) e + ( 1+
j) e
2
2
jωt
= c e c
− jωt
e
f (t ) = ( ) ( )
=
c
1
1
e
+
−1
jωt
− jωt
+ c
* 1e
f (t) = Acos ( ω t) + Bsin
( ω t)
1
A−
jB e
2
jωt
= c e c e
jωt
− jωt
= ( ) ( )
=
=
c
c
+
− jωt
+ * 1
1
jωt
− jωt
1
e + c
−1e
jωt
− jωt
e + c
* 1 1e
.
1
2
A+
jB e
• Die Beziehungen zwischen den reellen und komplexen Fourierkoeffizienten ergeben
sich allgemein zu.

Fourierreihen und Fouriertransformation 17
Falls c n aus a n und b n berechnet werden sollen:
c n = 2
1 (an – j b n )
c -n = 2
1 (an + j b n ) n ≠ 0
*
c -n = c n
a0
c 0 = 2
Falls a n und b n aus c n berechnet werden sollen:
a n = c n + c -n = 2 Re(c n )
b n = j (c n – c -n ) = –2 Im(c n )
a -0 = 2 c 0
• Die Amplitude der n ten Harmonischen beträgt
2 2
A n = a + = 2 |c n |
n
b n
und es gibt zwei Möglichkeiten, das Amplitudenspektrum anzugeben: asymmetrische
A n oder symmetrische |c n |, welche halb so hoch sind (schwesterliche Aufteilung).
Abbildung 7: Zwei mögliche Darstellungen des Amplitudenspektrums; links: A n
und rechts |c n |.
3.2 Energie oder Leistung eines Signals
Die Energie oder Leistung eines Signals f hängt von den Amplituden, d. h. von den Fourierkoeffizienten
ab. In der Wellenlehre kann gezeigt werden, dass die Leistung einer
harmonischen Welle proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Die Gesamtleistung
eines periodischen Signals ist proportional zum Quadrat des Effektivwerts
d. h.
T
1 2
∫ f
T 0
( t)
dt ,

Fourierreihen und Fouriertransformation 18
T
⎛ 1
= ⎜
∫
⎝
⎞
.
2
Leistung( f ) k
⎜
f ( t) dt
T ⎟ 0 ⎠
Um zu untersuchen, wie sich die Leistung auf die verschiedenen Harmonischen verteilt
(prozentuale Anteile), kann die Proportionalitätskonstante gleich 1 gesetzt und die folgende
Formel benutzt werden.
Formel von Bessel-Parseval
1
T
T
2
2 0
n n 0
Leistung( f ) = P ( f ) = f ( t) dt = ∑ cn
= + ∑ = + ∑
∫
0
n = ∞
n = −∞
2
a
4
∞
n = 1
a
2
+ b
2
2
2
a
4
∞
n = 1
P
n
P n = Leistung der n ten Harmonischen =
a
2
n
+ b
2
2
n
2
An
=
2
3.2.1 Beispiel (Rechtecksimpulsfolge)
Es sei die Rechtecksimpulsfolge f gegeben, vgl. Abbildung 8.
Abbildung 8: Rechtecksimpulsfolge.
Damit berechnen wir die komplexen Fourierkoeffizienten
c
0
T
1 a
= ∫ f ( t)
dt =
T 2
und
T
T ⎛ 2π
T ⎞
⎜
− jn
2
− jnωt
2
T 2 ⎟
1 − jnωt
a e
a
=
⎜
e 1
⎟
a
c
n ∫ a e dt =
= −
− = −
T
T − jnω
T ⎜ 2π
2π
⎟ 2πjn
0
0
jn jn
⎝ T T ⎠
mit n ∈Z,
n≠0
Daraus folgt die komplexe Darstellung der Fourierreihe:
mit
oder als reelle Darstellung
c
n
0
a jnω0t
f (t) = + ( c n
⋅ e )
aj
=
2π
n
2
∑ ∞
n=
−∞
− jπ
n
( e − 1) , n ∈ Z , n ≠ 0
− jπn
aj − jπn
( e − 1) = ( e − 1)
2πn

Fourierreihen und Fouriertransformation 19
mit
a 2a
1
1
+ ⎜ sin ω0t
+ sin 3ω
0t
+ sin 5ω
0t
+
2 π ⎝ 3
5
⎛
⎞
f (t) = ( ) ( ) ( ) ⎟
⎠
ω
0 =
2π
T
Tabelle 2: Die ersten 6 Fourierkoeffizienten.
n a n b n c n c -n = c n
*
0 a 0
1 0
2a
π
a
2
a
− j
π
a
j (=c -1 )
π
2 0 0 0 0
3 0
1 2a
1 a
⋅ − j ⋅
3 π
3 π
j
1
3
⋅
a
π
(=c -3 )
4 0 0 0 0
5 0
1 2a
1 a
⋅ − j ⋅
5 π
5 π
j
1
5
⋅
a
π
(=c -5 )
6 0 0 0 0
Die Leistung des gesamten Signals und ihre Verteilung auf die Harmonischen ist durch
1
T
T
∫
2
2
2
Leistung( f ) = ( )
0
f
T
2
1
t dt = a dt
T
∫
gegeben und die Leistung in den einzelnen Harmonischen
d. h.
P n = Leistung der n ten Harmonischen =
2
⎛ ⎞
0
P ⎜
0
= a = Mittelwert 2 =
0
2
a
=
2
2
a +
2
= 0.5a
2
n
b n
1
⎜
⎝ 2 ⎟⎟ 2
2
a = 0.25a
⎠
4
2 2
a1
+ b1
2 2 2 2
P
1
= = c1
+ c−
1
= a = 0. 203a
2
2
π
2 2
a2
+ b2
2 2
P
2
= = c2
+ c−2
= 0
2
,
2

Fourierreihen und Fouriertransformation 20
2 2
a3
+ b3
2 2 2 2
2
P
3
= = c3
+ c−3
= a = 0. 0225a
2
2
9π
2 2
a4
+ b4
2 2
P4 = = c4
+ c−4
= 0
2
2 2
a5
+ b5
2 2 2 2
2
P
5
= = c5
+ c−5
= a = 0. 0811a
2
2
25π
Damit folgt, dass P 0 + P 1 = 0.453a 2 bereits 90% der Gesamtleistung bestimmen. Um 95%
der Gesamtleistung zu bekommen, müsste noch die 3. Harmonische hinzugenommen
werden.
3.3 Lösen von partiellen Differenzialgleichungen
Eine wichtige Anwendung der Theorie der Fourierreihen in der Physik ist das Lösen von
partiellen Differenzialgleichungen. Joseph Fourier hat die Theorie der Fourierreihen aus
genau einem solchen Problem entwickelt. Bei Fourier war es das Problem der Wärmeleitung.
Wir wollen hier das Problem einer schwingenden Saite untersuchen. Die Anfangsauslenkung
sei eine vorgegebene Funktion f. Nehmen wir konkret die folgende Situation:
Abbildung 9: Auslenkung einer Saite zum
Zeitpunkt t = 0.
Eine Saite der Länge b (im unausgelenkten Zustand) wird in der Mitte um h nach oben
gezogen, sodass eine Anfangsauslenkung in Form eines gleichschenkligen Dreiecks entsteht.
Die Saite sei am Anfangs – und Endpunkt fest eingespannt. Anschliessend wird sie
losgelassen und soll ungedämpft schwingen. Gesucht ist der Form der Saite zu einem
beliebigen Zeitpunkt. Mathematisch formuliert wird also eine Funktion u(t, x) der beiden
Variablen t und x gesucht, welche die Auslenkung der Saite als Funktion von x und t
nach dem Loslassen angibt. Die physikalische Analyse des Problems führt auf die folgende
partielle Differenzialgleichung für die Funktion u(t, x) so genannte Wellengleichung
2
2
∂ u 2 ∂ u
= a
2
2
∂ t ∂ x
wobei a eine Materialkonstante ist.
Prinzipiell sei erwähnt, dass analytische Lösungsmethoden für partielle Differenzialgleichungen
viel komplizierter sind als für gewöhnliche Differenzialgleichungen und nur in
seltenen Fällen Rezepte vorhanden sind. Für einige Spezialfälle (wie dieser Fall) kann mit
Hilfe eines so genannten Separationsansatzes (oder Produktansatzes) die Lösung ermittelt

Fourierreihen und Fouriertransformation 21
werden. Der Separationsansatz bedeutet, dass angenommen wird, dass u(t, x) als Produkt
einer reinen Funktion von t und einer reinen Funktion von x dargestellt werden kann
(vergleiche die analoge Unterscheidung zwischen separierbaren und nicht separierbaren
Differenzialgleichungen 1. Ordnung). Mit Hilfe dieser Annahme kann die partielle Differenzialgleichung
in zwei gewöhnliche Differenzialgleichungen umgewandelt werden und
zwar durch folgende Überlegung.
1. Allgemeine Lösungsstruktur
u t , x = g t h x . Daraus folgt natürlich, dass
Es sei also ( ) ( ) ( )
und
sowie
∂ u =
dt
2
∂ u
2
dt
∂ u =
dx
dg
dt
2
d g
=
2
dt
h( x)
h( x)
dh
g( t) dx
und
2
2
∂ u d h
g( t) 2 =
2
dx dx
Wenn dieser Produktansatz in die partielle Differenzialgleichung eingesetzt wird,
dann folgt
2
2
d g
2 d h
h( x) = a g( t) ,
2
2
dt
dx
d. h.
g ( t)
h′
( x)
=
g t h x
also
( t)
( t)
( )
g h′
= a
2
g h
Auf der linken Seite steht eine reine Funktion von t und auf der rechten Seite eine
reine Funktion von x. Gleichheit zweier solcher Funktionen für alle Zeiten t und
allen x-Werten im Intervall [0, b] ist nur möglich, wenn
g
( t)
2 h′′
( x)
= a = konstant = c
g( t)
h( x)
Daraus folgen zwei gewöhnliche Differenzialgleichungen für die Funktionen g,
resp. h
und
g
g
( t)
( t)
( )
( x)
( x)
2
=c = − λ

Fourierreihen und Fouriertransformation 22
h
h
2
( x)
c λ
= = −
2 2
( x) a a
aus physikalischen Gründen muss die Konstante c negativ sein und es wird deshalb
oft
2
− λ
anstatt c geschrieben.
Mit diesen Bezeichnungen ergeben sich die beiden Differenzialgleichungen
g
( t) + λ
2 g( t) = 0
und
2
h
λ
( x) + h( x) = 0
2
a
mit den Lösungen
g ( t) = Acos ( λt) + Bsin
( λt)
und
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
h( x) = C cos ⎜ x⎟ + Dsin
⎜ x⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
Daraus folgt
u
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞⎞
( t , x ) = ( Acos( λt) + B sin ( λt)
) ⎜ C cos x Dsin
x ⎟
⎠
Über λ wissen wir vorläufig noch nichts.
⎛
⎝
⎜
⎝ a
⎟ +
⎠
⎜
⎝ a
⎟
⎠
2. Erfüllung der Randbedingungen
Die Saite ist fest eingespannt, d. h. für alle Zeiten t muss
u ( t , 0 ) = u ( t , b ) = 0
gelten. Dies entspricht zwei Randbedingungen.
Links u ( t , 0 ) = 0
Weil u ( t , x ) = g ( t) h( x ) muss ( 0 ) = 0
h( 0 ) = C cos( 0) + Dsin
( 0) = C = 0
und damit ist die Lösung
ein reiner Sinus.
h
h gelten, also folgt
⎛ λ
⎜
⎝ a
⎞
( x) = Dsin
x⎟ ⎠
Rechts u ( t , b ) = 0
Wiederum weil u ( t , x ) = g ( t) h( x ) muss h( b) = 0
gelten, also folgt

Fourierreihen und Fouriertransformation 23
⎛ λ ⎞
h( b) = Dsin ⎜ b⎟
= 0
⎝ a ⎠
und damit
λ
b = nπ
a
also
aπ
λ
n
= n .
b
Offenbar gibt es nur für
aπ
λn
= n, n∈N
b
Lösungen. Es werden die λ n die Eigenwerte der Differenzialgleichung und
die zugehörigen Lösungsfunktionen
⎛ λ
hn
⎝ a
werden Eigenfunktionen genannt.
π n
⎜
⎝ b
n ⎛ ⎞
( x) = Dsin
⎜ x⎟
= Dsin
x⎟ ⎠
Bis jetzt wissen wir also, dass alle Funktionen der Form
⎛ ⎛ π a n ⎞ ⎛ π a n ⎞⎞
⎛ π n ⎞
u n
( t , x ) = ⎜ Acos⎜ t ⎟ + Bsin
⎜ t ⎟⎟
Dsin
⎜ x⎟,
n∈N
⎝ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎠ ⎝ b ⎠
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A, B und D Lösungsfunktionen der Differenzialgleichung
sind.
De facto müssen wir aber nicht 3 Unbekannte bestimmen sondern nur 2 Produkte
AD und BD. Umbenennung AD in A und BD in B führt also auf den Zwischenstand,
dass jede Funktion der Form
⎛ ⎛ π a n ⎞ ⎛ π a n ⎞⎞
⎛ π n ⎞
u n
( t , x ) = ⎜ Acos⎜
t ⎟ + Bsin
⎜ t ⎟⎟sin
⎜ x⎟,
n∈N
⎝ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠⎠
⎝ b ⎠
Lösung der Differenzialgleichung ist.
Weil die Differenzialgleichung linear ist, gilt das Superpositionsprinzip, d. h. auch
jede Summe (Linearkombination) solcher Funktionen ist Lösung. Das bedeutet,
dass die allgemeinste Lösung die Struktur hat:
∞
∞
⎛⎛
⎞
( ) ∑ ( ) ∑⎜
⎛ π a n ⎞ ⎛ π a n ⎞⎞
⎛ π n ⎞
u t , x = u
⎟
n
t , x =
⎜ An
cos⎜
t ⎟ + Bn
sin ⎜ t ⎟⎟sin
⎜ x⎟
n = 1
n = 1⎝⎝
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠⎠
⎝ b ⎠⎠
⎞
⎠
3. Erfüllung der Anfangsbedingung (Anfangsform der Saite)
Zum Zeitpunkt t = 0 soll h(x) = f (x) (gleichschenkliges Dreieck) sein, d. h.
u ( 0 , x) = f ( x)
.
Ebenfalls zum Zeitpunkt t = 0 soll die Geschwindigkeit der Saite gleich 0 sein,
d. h.

Fourierreihen und Fouriertransformation 24
Die 1. Bedingung ( ) ( )
u
( 0 , x) = 0
u
u 0 , x = f x liefert die Gleichung
∞
( 0, x) = u ( 0, x) = A sin x = f ( x)
∑
n = 1
Die 2. Bedingung ( 0 , x ) = 0
u
( t,
x) = u
( t,
x)
∑ ∞
n = 1
n
∞
∑
n = 1
u liefert wegen
n
n
⎛ π n
⎜
⎝ b
∑ ∞ ⎛⎛
π a n
⎟ ⎞
⎜
⎛ π a n ⎞ π a n ⎛ π a n ⎞⎞
⎛ π n ⎞
=
⎜−
An
sin⎜
t ⎟ + Bn
cos⎜
t ⎟⎟sin⎜
x⎟
n=
1 ⎝ ⎝ b ⎝ b ⎠ b ⎝ b ⎠⎠
⎝ b ⎠⎠
die Gleichung
∞
∞
π a n ⎛ π n ⎞
u
( 0, x) = ∑u
n
( 0, x ) = ∑ Bn
sin ⎜ x⎟
= 0
n = 1
n = 1 b ⎝ b ⎠
Erfüllung der Anfangsbedingung liefert also die beiden folgenden Gleichungen für
die A n und B n
∑ ∞ ⎛ π n ⎞
An
sin ⎜ x⎟
= f ( x)
n = 1 ⎝ b ⎠
sowie
⎛ ⎞
∑ ∞ π a n π n
Bn
sin ⎜ x⎟
= 0
n = 1 b ⎝ b ⎠
Beide Gleichungen müssen identisch für alle x [ 0,b
]
⎞
⎟
⎠
∈ erfüllt sein.
Aus der zweiten Gleichung folgt sofort, dass
B n
= 0,
n∈N
.
Im Moment haben wir also für u(t, x) die folgende allgemeinste Lösung
( ) ∑ ∞ ⎛ ⎛ π a n ⎞ ⎛ π n ⎞⎞
u t , x = ⎜ An
cos⎜
t ⎟sin
⎜ x⎟⎟
n = 1⎝
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠⎠
und für die A n muss gelten
∑ ∞ ⎛ π n ⎞
An
sin ⎜ x⎟
= f ( x)
n = 1 ⎝ b ⎠
Es müssen nur noch die A n ermittelt werden.
Es müssen also die A n so bestimmt werden, dass
∑ ∞ ⎛ π n ⎞
An
sin ⎜ x⎟
= f
n = 1 ⎝ b ⎠
Wir erkennen auf der linken Seite eine Fourierreihe und zwar eine solche mit nur
Sinustermen, d. h. es ist die Fourierreihe einer ungeraden Funktion. Mit anderen
( x)
.

Fourierreihen und Fouriertransformation 25
Worten, wenn es uns gelingt, die Funktion f (gleichschenkliges Dreieck) so periodisch
fortzusetzen, dass eine ungerade Funktion entsteht, welche im Intervall
x ∈ [ 0,b]
mit dem gleichschenkligen Dreieck übereinstimmt, dann hätten wir die
gesuchten A n (ausserhalb des Intervall x ∈ [ 0,b]
interessiert der Verlauf nicht).
Es wird von einer Fouriersinusreihe gesprochen (ungerade periodische Fortsetzung
einer Funktion). Eine solche (natürlich möglichst einfache) periodische Fortsetzung
ist aber kein Problem, siehe Abbildung 10.
Abbildung 10: Ungerade periodische Fortsetzung der Auslenkung der Saite zum Zeitpunkt
t = 0.
Die periodisch fortgesetzte Funktion f hat die Periode 2b und wird nur Sinusterme
enthalten, d. h.
( ) ∑ ∞ ⎛ π n ⎞
f x = α
n
sin ⎜ x⎟
n = 1 ⎝ b ⎠
mit den Fourierkoeffizienten
b
1 ⎛ π n ⎞ 2
α
n
= f ⎜ ⎟
b
∫
b b
∫
−b
⎝ ⎠ 0
Die Fourierkoeffizienten berechnen sich zu
8h ⎛ n π ⎞
α n
= A n
= sin⎜
⎟,
n
2
π n ⎝ 2 ⎠
d. h. für f haben wir die Fouriersinusreihe
f
⎛ π n
⎜
⎝ b
( x) sin x dx = f ( x) sin x dx
2
=
b
1, 2,3,
8h ⎛ ⎛ π ⎞ 1 ⎛ 3π
⎞ 1 ⎛ 5π
⎞ ⎞
( x) = ⎜sin
x − sin x + sin x ⎟
⎠
2
π ⎝
⎜
⎝ b
⎟
⎠
3
2
⎜
⎝
Die so gefundenen Fourierkoeffizienten α n sind identisch mit den A n in der Funktion
( ) ∑ ∞ ⎛ ⎛ π a n ⎞ ⎛ π n ⎞⎞
u t , x = ⎜ An
cos⎜
t ⎟sin
⎜ x⎟⎟
n = 1⎝
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠⎠
b
⎟
⎠
5
2
⎜
⎝
b
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Einsetzen liefert also die Lösungsfunktion in Form der folgenden Reihe
( t x) =
u ,
8h
2
π
⎛
⎜
⎝
⎛ π a
cos⎜
⎝ b
⎞ ⎛ π ⎞ 1
t ⎟sin
⎜ x⎟
−
2
⎠ ⎝ b ⎠ 3
⎛ 3π
a
cos⎜
⎝ b
⎞ ⎛ 3π
⎞ 1
t ⎟sin
⎜ x⎟
+
2
⎠ ⎝ b ⎠ 5
⎛ 5π
a
cos⎜
⎝ b
⎞ ⎛
t ⎟sin
⎜
⎠ ⎝
5π
⎞ ⎞
x⎟
⎟
b ⎠ ⎠

Fourierreihen und Fouriertransformation 26
Es stellt sich heraus, dass die Saite trapezförmig schwingt. Die Abbildung 11 zeigt die
Saite zu verschiedenen Zeiten innerhalb der ersten halben Periode.
Abbildung 11: Momentaufnahmen der Auslenkungen der schwingenden Saite.

Fourierreihen und Fouriertransformation 27
4 Von der Fourierreihe zur Fouriertransformation
4.1 Grenzübergang an einem konkreten Beispiel
Bis jetzt haben wir uns mit Funktionen und Signalen beschäftigt, welche sich ständig
wiederholen d. h. periodisch sind. Die Theorie der Fourierreihe hat gezeigt, dass sich solche
periodischen Signale auch wenn sie nicht harmonisch sind trotzdem als Summe von
harmonischen Signalen darstellen lassen. In diesem Abschnitt versuchen wir der Tatsache
Rechnung zu tragen, dass nicht alle Signale in der physikalischen Realität periodisch sind.
Wir untersuchen also wie wir die Ergebnisse der letzten Abschnitte modifizieren müssen
für Signale welche sich nicht ständig wiederholen. Das führt uns ins Gebiet der Fouriertransformation
und des Fourierintegrals.
Abbildung 12: Links: periodische Funktionen führen zur Fourierreihe.
Rechts: absolut integrable Funktionen führen zum Fourierintegral.
Den Übergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation können wir uns vielleicht
am besten vorstellen, wenn wir bei einer periodischen Funktion die Periode T nach ∞
streben lassen. Nehmen wir als Beispiel die folgende zunächst noch periodische Rechtecksimpulsfolge
mit Amplitude A = 1.
Abbildung 13: Periodische Rechtecksimpulsfolge
mit Periodendauer T und
Amplitude A = 1.
Die Fourierreihe dieser geraden Funktion enthält nur Kosinusterme.
f
a
∞
0
( t ) = + a cos( nω
t) = + a cos( nω
t),
∑
∑
n
0
2 n=
1
T n=
1
d. h.
a0
τ
= .
2 T
Für die restlichen Fourierkoeffizienten a n (n > 0) gilt
τ
∞
n
0

Fourierreihen und Fouriertransformation 28
T
2
an
= ∫ f ( t ) cos( nω
0t)
dt
T
0
d. h.
τ
τ
⎛ ⎛ τ ⎞ ⎞ ⎛ τ ⎞
⎜ 2sin
2
⎜ nω
0 ⎟ ⎟ sin ⎜nω0
⎟
2
2 sin( nω
)
2
0t
2
2 2ω
0 2
a n
= cos( nω
0t)
dt
⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
T
∫
=
=
=
τ
T nω
0 τ T ⎜ nω
⎟
0
π nω0
−
−
2
2 ⎜
⎟
⎝
⎠
oder mit T = 2π
/ ω0
formuliert
⎛ τ ⎞
sin ⎜π n ⎟
T
a
⎝ ⎠
n
= 2 π n
Um zu verdeutlichen, was mit dem Amplitudenspektrum geschieht, wenn T bei festgehaltenem
τ gegen unendlich strebt (gleichbedeutend mit ω 0 → 0), sind in den folgenden
Figuren die Spektren für verschiedene Werte von
τ
T
dargestellt.
τ
1. Für
T
=
1
2
, d. h., die Pause zwischen den Pulsen ist gleich gross wie die Pulsdau-
π
er. In diesem Fall ist ω
0
= und es folgt
τ
a0 τ 1
= =
2 T 2
⎛ ⎞
a =
2 sin⎜ π
n
n ⎟ ,
π n ⎝ 2 ⎠
d. h.
a = 2
1
π
,
und so weiter.
a =0 2
a
3
= −
, 2
3π

Fourierreihen und Fouriertransformation 29
Abbildung 14: Periodische Rechtecksimpulsfolge mit Spektrum.
Das Spektrum ist diskret, d. h. besteht aus einzelnen Balken. Die Kurve ist nur
eingezeichnet, um anzudeuten, dass die Balkenspitzen auf einer Kurve liegen mit
der qualitativen Funktionsgleichung
sin
( )
( kω)
F ω = a
ω
, d. h., die Pause zwischen den Pulsen ist 5 mal so gross wie die Puls-
τ
2. Für
T
dauer.
=
1
6
π
In diesem Fall ist ω0 = und es folgt
3 τ
a0 τ 1
= =
2 T 6
⎛ ⎞
a =
2 sin⎜
π
n
n ⎟ ,
π n ⎝ 6 ⎠
d. h.
2 1
a
1
= 0.5 = = 0.318
π π
1 ⎛ π ⎞
a
2
= sin ⎜ ⎟=
0.275
π ⎝ 3 ⎠
2 ⎛ π ⎞
a
3
= sin ⎜ ⎟=
0.212
3π
⎝ 2 ⎠
1 ⎛ 2π
⎞
a
4
= sin ⎜ ⎟=
0.138
2π
⎝ 3 ⎠
2 ⎛ 5π
⎞
a
5
= sin ⎜ ⎟=
0.064
5π
⎝ 6 ⎠
1
a
6
= sin ( π ) = 0
3π
2 ⎛ 7π
⎞
a7
= sin ⎜ ⎟= − 0.045
7π
⎝ 6 ⎠

Fourierreihen und Fouriertransformation 30
Abbildung 15: Periodische Rechtecksimpulsfolge mit Spektrum.
3. Was passiert, wenn T → ∞ ?
Das Signal wird zum endlichen Einzelimpuls und die einzelnen Spektrallinien rücken
immer näher (im Grenzwert unendlich nahe) zusammen. Die Werte der
Amplituden gehen zwar gegen 0, aber die Form der Kurve bleibt erhalten. Die Situation
ist ähnlich wie beim Übergang von der Binomialverteilung zur Gaussverteilung
in der Statistik. Es macht keinen Sinn mehr, von einer einzelnen Frequenz
zu sprechen, welche im Signal steckt sondern nur noch von einem Frequenzband
oder Frequenzbereich ∆ω. Die entstehende Funktion wird Spektralfunktion oder
Spektraldichte F genannt und ist mathematisch die so genannte Fouriertransformierte
von f. Je nach Normierung der Spektralfunktion (es gibt verschiedene Systeme)
ist die Funktionsgleichung in diesem Beispiel
2 ⎛ τ ⎞
F ( ω) = sin ⎜ω
⎟
ω ⎝ 2 ⎠
Abbildung 16: Spektraldichte.
4.2 Der Integralsatz von Fourier (komplexe und reelle Darstellung)
Wir wollen in diesem Abschnitt den im vorherigen konkreten Beispiel vollzogenen
Grenzübergang T → ∞ für allgemeine Signale f mathematisch durchführen. Wir gehen
also aus von einem periodischen Signal f und untersuchen was mit den Fourierkoeffizienten
geschieht, wenn T → ∞.
Sei f also ein periodisches Signal mit der Periodendauer

Fourierreihen und Fouriertransformation 31
2π
T = .
ω0
Dann lautet die komplexe Fourierreihe von f
mit den Fourierkoeffizienten
c
n
=
T
f(t) = ∑ ∞
n=
−∞
∫
T
−
2
( t)
⋅e
jnω0t
c
n
T
2
1 − jnω0t
f
e
dt,
n∈Z
Beim obigen Integral für c n ist es mathematisch sauberer, als Integrationsvariable x anstatt
t zu verwenden, denn wir haben bei f die unabhängige Variable t und bei c n ist
t Integrationsvariable. Weil wir c n in der Formel für f einsetzen müssen, kann dies zu
Verwechslungen führen.
Wenn die c n in der Fourierreihe von f eingesetzt werden, dann erhalten wir die folgende
Darstellung für f
T
⎛ 2π
⎞
π
⎛
⎞ ⎜ ⎟
T = ⎛
⎞
∞
∞
⎜ 2
⎟ ⎝ ω ⎠ ∞ ⎜ ω
0
0
⎟
jnω
t 1
0
− jnω0x
jnω
t ω
0
0
− jnω0x
jnω0t
f ( t) = ∑c
⋅ = ∑ ⎜ ∫ ( ) ⎟ ⋅ = ∑ ⎜
∫ ( ) ⎟
n
e
f x e dx e
f x e dx ⋅ e
n=−∞
n=−∞⎜
T T
⎟
n=−∞
2π
−
⎜ π
−
⎟
⎝ 2
⎠
⎝ ω0
⎠
also
π
⎛
∞ ω
1
f ∑
2π
∫
n=−∞
π
⎜ ⎜⎜⎜ −
⎝ ω0
Betrachten wir zunächst den Ausdruck in Klammern
0
− jnω0x
jnω0t
( t) = f ( x) e dx ⋅ e ω0
π
ω
0
∫
π
−
ω0
f
( x)
e
− jn ω0x
und machen den Grenzübergang T → ∞ . Wenn T → ∞ dann ist das gleichbedeutend mit
ω 0 → 0, d. h., dass ω 0 die Bedeutung von dω hat (Abstand zwischen den Spektrallinien z.
B. in der Abbildung 14). Wir ersetzen deshalb ω 0 durch dω und nω 0 durch ω. Gleichzeitig
werden die Integrationsgrenzen zu –∞ und +∞:
π
ω
0
∫
π
−
ω0
f
− jnω0
x
− jωx
( x) e dx f ( x) e dx = F( ω) = f ( t)
Wir haben wieder t anstatt x geschrieben.
Als Zwischenstand unserer Umformung haben wir
dx
∞
∞
− jωt
= ∫
∫ e dt
−∞
−∞
⎟ ⎟ ⎞
⎟
⎠

Fourierreihen und Fouriertransformation 32
f
1
2π
jnω0t
( t) = F( ω) ⋅ e ω0
∑ ∞
n=
−∞
Auch in dieser Summe muss der Grenzübergang T → ∞ resp. ω 0 → 0 gemacht werden,
d. h. ω 0 durch dω und n ω 0 durch ω ersetzt werden. Dann wird aus der Summe ein Integral
f
∞
1 ⎛
⎞ 1
jωt
= ∑
→
∫ ⋅ e dω
2π
dω
0⎝
n=−∞
⎠ 2π
jωt
( t) lim ⎜ F( ω) ⋅ e dω
⎟ = F( ω)
Integralsatz von Fourier (komplexe Darstellung)
Sei f absolut integrabel, d. h.
∞
∫
−∞
f
( t)
soll existieren und f erfülle in jedem Intervall die so genannte. Dirichletbedingungen,
d. h., in jedem Punkt t sollen links- und rechtsseitige Grenzwerte existieren.
Dann gelten die folgenden Beziehungen zwischen der Zeitfunktion f und der so genannten
Spektralfunktion F
f
F
dt
( t) F( ω)
1
= 2 π
−∞
+∞
e
jωt
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
∫
−∞
+∞
∫
Die Transformation
f (t) → F(ω)
wird Fouriertransformation und die Transformation
F(ω) → f (t)
wird inverse Fouriertransformation genannt. Die Funktion F wird die Fouriertransformierte
von f sowie f die inverse Fouriertransformierte F genannt.
Die Fouriertransformierte F von f ist physikalisch die Spektralfunktion und ist im Allgemeinen
eine komplexwertige Funktion. Die Funktion F enthält die Information über die
spektrale Intensitätsverteilung des Signals und die Umkehrformel
f
dω
j
( ) ( ω) ω t
t F e dω
1
= 2 π
+∞
∫
−∞
erlaubt es, bei bekannter Spektralfunktion F das Signal zu ermitteln.
Die Formel
f
j
( ) ( ω) ω t
t F e dω
1
= 2 π
+∞
∫
−∞
wird auch (Fourier'sche) Integraldarstellung von f oder Spektraldarstellung von
f genannt. An eventuellen Sprungstellen t 0 liefert die Auswertung des Fourierintegrals
+∞
−∞

Fourierreihen und Fouriertransformation 33
+∞
∫
−∞
1
j
( ω) ω to
F e dω
2π
den Wert
+
−
f ( t0
) + f ( t0
)
2
In allen stetigen Punkten t konvergiert das Fourierintegral gegen f.
1. Bemerkung
In der Optik hat die Fouriertransformierte, d. h. die Spektralfunktion eine sehr anschauliche
Bedeutung. Wenn wir uns vorstellen f sei ein heterochromatischer Lichtstrahl, dann
zerlegt die Fouriertransformation gleich wie ein Glasprisma den Strahl in seine spektralen
Komponenten (Brechung, z. B. in Regentropfen, Regenbogen). In der Optik haben die
einzelnen Frequenzen oder Frequenzbereiche die Bedeutung von Farben. Die Fouriertransformation
ergibt also das Farbspektrum eines Lichtstrahls.
Die meisten Signale in der Praxis besitzen Fouriertransformierte, d. h. erfüllen die Voraussetzungen
des obigen Satzes (absolut integrabel, etc.), denn sie sind (mathematisch)
beschränkt und von endlicher Dauer.
Auch für die Fouriertransformierten gibt es Lexika (Sammlungen der gebräuchlichsten
Fouriertransformierten) und auch für die Fouriertransformation gibt es Transformationsregeln
analog zu denjenigen der Laplacetransformation.
Die Fouriertransformation besitzt mathematisch grosse Ähnlichkeit mit der Laplace
Transformation. Sie unterscheidet sich in zweierlei Hinsicht von der Laplacetransformation
und macht sie deshalb mathematisch komplizierter:
1. Die Operatorvariable s bei Fourier ist rein imaginär: s = jω (Laplace s = σ + jω)
2. Das definierende Integral erstreckt sich von –∞ bis +∞ , d. h. es gab kein Einschalten
zum Zeitpunkt t = 0. Oder anders gesagt: Die speziellen Werte bei t = 0
(Einschaltvorgang, d. h. Anfangswerte) haben keinen Einfluss mehr, dass Signal
war schon seit ewigen Zeiten da (wir erhalten die stationäre Lösung einer Differenzialgleichung).
Diese Unterschiede haben zur Folge, dass die Regeln für die Fouriertransformation ähnlich
aber nicht identisch mit denjenigen der Laplacetransformation sind.
Die wichtigsten sind hier zusammengestellt. Es wird dasselbe Korrespondenzsymbol wie
beim Laplacieren: f(t) F(ω), resp. F(ω) f(t) verwendet.
2. Bemerkung
In der Literatur gibt es verschiedene Systeme für die Definition der Fouriertransformation
und zwar je nach Normierungskonstante vor den Integralen. Die obige Definition soll
System 1 heissen (willkürliche Festlegung). Der Vollständigkeit halber sollen die anderen
möglichen Systeme an dieser Stelle erwähnt werden. Jedes System hat seine Vor- und
Nachteile (früher oder später handeln wir uns aber in jedem System einen Faktor 2π ein,
einfach an einer anderen Stelle.) und je nach System unterscheiden sich die Funktionsgleichungen
für die Fouriertransformierten in einem Fourierlexikon durch konstante Faktoren.

Fourierreihen und Fouriertransformation 34
1. System
f
F
( t) F( ω)
1
= 2 π
+∞
e
jωt
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
∫
−∞
+∞
∫
−∞
dω
2. System
f
F
3. System
f
F
1
( t) = F( ω)
2π
1
dω
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
+∞
2π
+∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞
( t) = F( ν )
∫
−∞
+∞
e
2πjνt
e
−2πjνt
( ν ) = f ( t) e dt
∫
−∞
jωt
dν
1
mit f ω
ν = =
2π
= T
In diesem Skript verwende ich das oben verwendete 1. System.
(Frequenz)
4.2.1 Beispiel (Rechtecksfenster)
Es sei die Fenster-Funktion
⎧ 1
⎪1,
t <
⎞ ⎞
( ) ⎜
⎛ 1
⎜
⎛ 1
Π t =
2
⎨
= u t + ⎟ − u t − ⎟
⎪ 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0, t >
⎩ 2
gegeben, vgl. Abbildung 17. Dabei bezeichnet u die Heaviside'sche Sprungfunktion.
Abbildung 17: Rechtecksfenster.
Die Fouriertransformation ist
F
+∞
( ω) ∫ f ( t)
1
2
− jωt
= e dt = ∫1e
−∞
1
−
2
− jωt
dt
=
− jωt
e
−
jω
1
2
1
−
2
=
⎛
− ⎜
ω
e
j ⎝
ω ω
1 − j j
2 2
− e
⎞
⎟
=
⎠
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
2sin⎜
⎟ sin⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
=
ω ω
2

Fourierreihen und Fouriertransformation 35
Abbildung 18: Fouriertransformation des
Rechteckfensters.
Wenn die Breite des Fensters nicht gleich 1 sondern gleich T ist, dann kann Π Τ (t) geschrieben
werden. Weil die Funktion
sin x
f ( x)
=
x
eine wichtige Funktion im Bereich der Signalverarbeitung ist, gibt es für Sie die spezielle
Bezeichnung sinc(x) (englischer Sprachraum) oder si(x) (deutscher Sprachraum)
x
x
( x)
def sin sin π
sinc = oder
x
πx
Es gilt also
⎛ ω ⎞
sin⎜
⎟⎠
2
Π(t)
⎝
ω
2
4.2.2 Beispiel (Dreiecksfunktion)
Es sei die Dreiecksfunktion
Λ
( t )
⎪⎧
1−
t
= ⎨
⎪⎩ 0,
,
t
t
< 1
> 1
gegeben, vgl. Abbildung 19.
Abbildung 19: Dreiecksfunktion.
Die Fouriertransformation ist
F
0
− jωt
− jωt
( ω) = ( 1 + t) e dt + ( 1 − t) e dt
∫
−1
1
∫
−0

Fourierreihen und Fouriertransformation 36
F
2
( ω) = ( 1−
cos ( ω)
)
2
ω
⎛ ⎛ ω ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ 2 ⎠
=
⎟
⎜ ω ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
Abbildung 20: Fouriertransformation.
Es gilt also
Λ ( t)
⎛ ⎛ ω ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟
⎜ ω ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
4.2.3 Beispiel (Dirac-Stoss)
Es sei der Dirac-Stoss δ gegeben. Gleich wie bei der Laplacetransformation approximieren
wir δ durch eine Folge Rechtecksimpulsen f ε (t), d. h. mit der Funktionsfolge
vgl. Abbildung 21.
f ε (t ) =
⎧
⎪
⎨
⎩
⎪
1
,
ε
0,
0 ≤ t ≤ ε
sonst
Abbildung 21: Folge von Rechtecksimpulsen konvergiert zur Diracfunktion.

Fourierreihen und Fouriertransformation 37
Die Fouriertransformation der Folge von Rechtecksimpulsen ist
und damit folgt
F
δ
F
ε
ε
1 − jωt
1 1 − jωt
j − jωε
( ω) = ∫ e dt = e = ( e −1)
0
ε
ε − jω
ε
0
εω
− jωε
( ω) = lim F ( ω) = lim ( e −1) = lim j = 1
ε →0
ε
ε →0
j
εω
BH
ε →0
−
− jωe
ω
Also ist nicht nur die Laplacetransformierte von δ gleich 1 sondern auch die Fouriertransformierte
von δ.
Für den zeitlich verschobenen Dirac-Stoss δ ( t − t 0
) gilt
− jωt0
F{ δ ( t t )} = F ( )( ω) = e
− .
0
δ t− t
=
Dies würde auch aus dem Verschiebungssatz folgen.
Es gilt also
und
δ ( t)
1
( t − )
δ t − j ω t0
0
Für die folgenden Funktionen braucht es einen erheblichen mathematischen Aufwand, um
ihre Fourietransformierten zu berechnen so wie wir das oben gemacht haben. Wir brauchen
Kenntnisse der komplexen Funktionentheorie sowie der verallgemeinerten Funktionen.
Dies würde den Rahmen dieses Skripts sprengen und deshalb werden die Resultate
mehr oder weniger begründet einfach angegeben.
4.2.4 Beispiel (Dirac-Kamm)
Der Dirac-Kamm oder Sampling oder Replikationsfunktion III(t ), vgl. Abbildung 22.
0
def
∑ ∞
n = −∞
e
III(t ) = δ ( t −n)
Es wird das Symbol III das shah-Symbol genannt. III ist ein Symbol aus der cyrillischen
Schrift und es wird mit 'schah' ausgesprochen.
jωε
Abbildung 22: Dirac-Kamm.
Die Funktion III(t ) hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass ihre Fouriertransformierte
F{III(t )} = 2π III(ω)

Fourierreihen und Fouriertransformation 38
ist. Der Faktor 2π kommt von unserer Definition der Fouriertransformierten (1. System).
Hätten wir die Fouriertransformierte im 3. System definiert, dann wäre die Fouriertransformierte
F{ III(t ) } = III(ν )
Die Fouriertransformation der Folge von Rechtecksimpulsen ist
∑ ∞
n = −∞
F{ III(t ) } = 2 π δ ( ω − n)
Abbildung 23: Fouriertransformation
des Dirac-Kamms.
Die Funktion
∑ ∞
n = −∞
III(t ) = δ ( t −n)
ist in vor allem in der Signalverarbeitung sehr nützlich. Wir benutzen sie um abgetastete
Signale zu beschreiben und zu verarbeiten. Wenn z. B. f ein (kontinuierliches) Signal ist,
dann ist δ (t–t 0 ) f (t ) der abgetastete Wert von f an der Stelle t 0 wie folgende Überlegung
zeigt. Stellen wir und wieder δ (t ) als Grenzwert der schon mehrmals verwendeten Impulsfolge
vor. Dann ist
t0
+ ε
∫
t0
+ ε
δ (t – t 0 ) f(t) = lim f ( t) dt = lim f ( t)dt
ε →0
t0
1
ε
ε →0
1
ε
∫
t0
Sei nun F eine Stammfunktion von f, d. h. F ' = f (F bedeutet also jetzt im Moment nicht
Fouriertransformierte)
( ) ( )
def
1 t0
+ ε F t0
+ ε − F t0
δ (t – t 0 ) f (t) = lim F( t)
= lim
= F′
( t0
) = f ( t0
).
ε →0
t 0
ε
ε →0
ε
Wie ist dieses Resultat zu interpretieren?
Die Schreibweise δ (t – t 0 ) f (t) = f (t 0 ) ist im klassischen mathematischen Sinn falsch.
Denn δ (t – t 0 ) f (t) als Produkt zweier Funktionen ist wieder eine Funktion, aber nicht
etwa die konstante Funktion y = f (t 0 ). Die Funktion δ (t – t 0 ) f (t) bedeutet vielmehr diejenige
Funktion, welche nur gerade an der Stelle t 0 den Wert f (t 0 ) hat, sonst aber überall
identisch gleich 0 ist. Deshalb könnten (sollten) wir auch schreiben
δ (t – t 0 ) f (t) = δ (t – t 0 ) f (t 0 ).

Fourierreihen und Fouriertransformation 39
Abbildung 24: Wirkung von δ (t – t 0 ) f (t ) = δ (t – t 0 ) f (t 0 ).
Multiplikation mit δ (t – t 0 ), resp. δ (t – n) reproduziert (samplet) den Wert des Signals f
an der Stelle t 0 (resp. n).
∑ ∞
n = −∞
Multiplikation von f mit III(t ) = ( t −n)
δ bedeutet also
III(t ) f (t) δ ( t − n) f ( n) = f ( n)
= ∑ ∞ A
n = −∞
d. h. die in regelmässigen Abständen abgetastete Funktion f.
Abbildung 25: Wirkung von III(t ) f (t ).
Auch die Faltung III(t ) * f (t ) von III mit einem Signal f hat eine anschauliche Bedeutung.
Die Faltung mit III bewirkt ständige und regelmässige Wiederholung (Replikation)
von f und zwar mit der Periode 1. Falls f breiter ist als 1, dann kommt es zu Überlappungen.
Abbildung 26: Wirkung von III(t ) * f (t ).

Fourierreihen und Fouriertransformation 40
4.2.5 Beispiel (Konstante Funktion)
Es sei die konstante Funktion
f ( t) = 1,
− ∞ < t < ∞
Gegeben. Schon bei diesen beiden einfachen Funktionen braucht es einen erheblichen
mathematischen Aufwand (komplexe Funktionentheorie und verallgemeinerte Funktionen),
um ihre Fouriertransformierten zu berechnen. Bei der Laplactransformation hatten
wir keine besonderen Schwierigkeiten. Wir geben hier die entsprechenden Korrespondenzen
einfach an.
Bei der Funktion f (t ) = 1 kann die Symmetrieeigenschaft aus der Tabelle in Kapitel 5.2.1
benutzt werden.
Aus
f ( t)
( ω)
F folgt F ( t)
2 π f ( − ω)
Weil wir schon wissen, dass δ ( t)
1 folgt daraus, dass
j o
1 2 πδ ( ω)
und
t
4.2.6 Beispiel (Heaviside'sche Sprungfunktion)
Für die Heaviside'sche Sprungfunktion gilt
u ( t)
( ω)
e ω 2πδ ( ω − )
1
jω +πδ
4.2.7 Beispiel (Sinus- und Kosinusfunktionen)
Weil
1 jωot
− j
sin ωot
= e −e
2 j
und
1 jωot
− j
cos ω t = e + e 2
ωot
( ) ( )
ωot
( ) ( )
gilt wegen der Linearitätseigenschaft und der Korrespondenz
dass
und
o
j o
e ω t
πδ ( ω −ω o
)
2 ,
sin( ω t 0
) j π ( δ ( ω + ω0 ) −δ
( ω −ω 0
))
cos( ω ) π ( δ ( ω + ω ) + δ ( ω − ))
0t
0
ω 0
Bei den obigen Beispielen 5.2.2 und 5.2.3 waren die Zeitfunktionen f gerade Funktionen
und F stellte sich als reellwertige Funktion heraus.
ω o

Fourierreihen und Fouriertransformation 41
Gerade und ungerade Funktionen
• f ist eine gerade Funktion ⇒ F ist reell
F
∞
∫
−∞
( ω) f ( t) cos( ω t)
= dt
• f ist eine ungerade Funktion ⇒ F ist rein imaginär
• f ist weder gerade noch ungerade ⇒ F ist komplex
F
F
a
b
∞
∫
−∞
( ω) − j f ( t) sin( ω t)
= dt
( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
+∞
1
π ∫
( ω) = f ( t) cos ( ω t)dt
−∞
+∞
1
π ∫
( ω) = f ( t) sin ( ω t)dt
Die rechts angegebenen Funktionsgleichungen für F im Allgemeinen komplexen Fall
folgen direkt aus dem Fourier'schen Integralsatz, wenn wir e -jωt durch cos(ω t) – j sin(ω t)
ersetzen und F in Real- und Imaginärteil aufspalten.
F
+∞
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
∫
−∞
+∞
∫
−∞
−∞
( )dt
= f ( t) cos( ω t) − j sin ( ω t)
+∞
∫
= ( ) ( ) dt j f ( t) ( t)dt
−∞
f t cos ω t
−
+∞
∫
−∞
sin ω
• Falls f gerade ist, dann ist f (t ) sin(ω t) ungerade und das 2. Integral verschwindet.
• Falls f ungerade ist, dann ist f (t) cos(ω t) ungerade und das 1. Integral verschwindet.
Wenn wir
F( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
im Fourierintegral einsetzen, dann bekommen wir die reelle Fourierdarstellung von f, d. h.
f
f
+∞
+∞
1
1
=
2π
∫
2π
∫
jωt
( t) F( ω) e dω
= ( π a( ω) − jπ
b( ω)
)( cos( ω t) − jsin( ω t)
) dω
1
2
+∞
−∞
−∞
( t) = ( a( ω) cos( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
+ ( a( ω) sin( ω t) − b( ω) cos( ω t)
) dω
∫
−∞
Diese Integrale lassen sich auf Grund von Symmetrieregeln noch vereinfachen. Dabei ist
zu beachten, dass über ω integriert wird. Es kommt also auf die Symmetrie bezüglich ω
an.
j
2
+∞
∫
−∞

Fourierreihen und Fouriertransformation 42
Wenn
a(ω) ist gerade
b(ω) ist ungerade
cos(ω t) ist gerade
sin(ω t) ist ungerade
gelten, dann folgt, dass
a(ω) cos(ω t) ist gerade
a(ω) sin(ω t) ist ungerade
b(ω) cos(ω t) ist ungerade
b(ω) sin(ω t) ist gerade
Der Imaginärteil des Integrals ist daher null und den Realteil kann durch das doppelte
Integral von 0 bis ∞ ersetzt werden.
Die reelle Darstellung des Fourier'schen Integralsatz lautet deshalb:
Integralsatz von Fourier (reelle Darstellung)
f
F
+∞
( t) = ( a( ω) cos( ω t) + b( ω) sin( ω t)
)
∫
0
( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
mit
a
b
dω
1
π
1
π
+∞
( ω) = f ( t) cos( ω t)
∫
−∞
+∞
dt
( ω) = f ( t) sin( ω t)dt
∫
−∞

Fourierreihen und Fouriertransformation 43
4.3 Eigenschaften der Fouriertransformation (Sätze und Regeln)
Tabelle 3: Wenn f (t )
F(ω) dann gelten die folgenden Korrespondenzen.
Symmetrie
(Vertauschungssatz)
Parität
Signal f
F(t)
f (t ) gerade
f (t ) ungerade
Fouriertransformierte F
2π f (–ω)
F(ω) ist reell
Linearität λ f + µ g λ F + µ G
Streckung Zeitbereich f (at )
Verschiebung
Zeitbereich
Verschiebung
Bildbereich
Ableitung
Zeitbereich
Ableitung
Bildbereich
Faltung der
Zeitfunktion
(komplexe Multiplikation)
Multiplikation der
Zeitfunktion
(komplexe Faltung)
F
∞
∫
0
( ω) = 2 f ( t) cos( ω t)dt
F(ω) ist rein imaginär
F
∞
∫
0
( ω) = − 2 j f ( t) sin ( ω t)dt
1 ⎛ ω ⎞
F⎜
⎟
a ⎝ a ⎠
f (t – t 0 )
− j ω t0
e F( ω)
ω f ( t)
F ( )
j 1t
e
ω −ω 1
f ′( t)
(
f n )
( t)
j ωF( ω)
( jω) F( ω)
( − t) f ( t)
F ′( ω)
n
( − j t) f ( t)
( n
F )
( ω)
( f ∗ g)( t)
=
F(ω ) G(ω )
∞
∫
−∞
f
f
( τ ) g( t −τ
) dτ
( t) g( t)
1
2π
1
2π
( F ∗ G)( ω)
∞
=
( v) G( ω v)dv
∫ F −
−∞

Fourierreihen und Fouriertransformation 44
4.4 Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation
Es sei
und
f
j
( ) ( ω) ω t
t F e dω
F
1
= 2 π
+∞
∫
−∞
+∞
− jωt
( ω) f ( t) e dt
∫
= ,
−∞
dann gelten die Korrespondenzen in den Tabelle 4 bis Tabelle 7. Aus Laplace-, Fourier -
und z-Transformation, O. Föllinger, Hüthig Verlag, Heidelberg 2000.
Tabelle 4: Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation, Teil 1.

Fourierreihen und Fouriertransformation 45
Tabelle 5: Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation, Teil 2.

Fourierreihen und Fouriertransformation 46
Tabelle 6: Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation, Teil 3.

Fourierreihen und Fouriertransformation 47
Tabelle 7: Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation, Teil 4.

Fourierreihen und Fouriertransformation 48
4.5 Amplituden- und Leistungsspektrum sowie Energie eines Signals
Die Fouriertransformierte eines Signals f ist im Allgemeinen eine komplexwertige Funktion.
Die Funktion F kann also entweder als
F ω = π a ω − jπ
b ω
( ) ( ) ( )
oder in der exponentiellen komplexen Form
F ω = A ω e
geschrieben werden.
Wir definiere das Amplituden(dichte)spektrum
A ω = F ω
j ( ω )
( ) ( ) ϕ
( ) ( )
das Phasen(dichte)spektrum
ϕ( ω) = Arg( F( ω)
) = ∠F( ω)
und das Leistungs(dichte)spektrum
1
P ( ω) = F( ω) 2
2π
Um Gesamtenergien und Leistungen zu berechnen ist der folgende Satz sehr wichtig (gilt
für Signale endlicher Energie, d. h.
Satz von Parseval
∞
∫
−∞
f
∞
∫
−∞
f
2
( t) dt < ∞
2
( t) dt F( ω)
∞
1
2
= ∫ dω
2π
−∞
.
4.5.1 Beispiel (Ungerade Rechtecksschwingung)
Es sei die Funktion
f ( t) = A( u( t + t0 ) − 2u( t) + u( t −t 0
))
Mit der Amplitude A gegeben, vgl. Abbildung 27. Dabei bezeichnet u die Heaviside'sche
Sprungfunktion.
Abbildung 27: Ungerade Rechtecksschwingung
mit Amplitue A.

Fourierreihen und Fouriertransformation 49
1. Integraldarstellung in reeller Form
Wir setzen die Integrale
mit
f
+∞
∫
0
( t) = ( a( ω) cos ( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
1
a( ω) = ∫ f ( t) cos( ω t)
dt
π
−∞
+∞
1
b( ω) = ∫ f ( t) sin( ω t)dt
π
−∞
an. Weil f eine ungerade Funktion ist, hat es nur Sinusbeiträge und
a(ω) = 0.
Andererseits ist
b
∞
∫
−∞
1
2
=
π
π
∫
t
+∞
2A
πω
2A
(
0
−1
).
πω
0
t0
( ω ) f ( t) sin( ω t) dt = ( − A) sin( ω t) dt = cos( ω t) = cos( ω t )
Weil
folgt
also
und
f
F
0
2
( 2α
) 2 sin ( α )
1 − cos =
b
4A
2 ω t0
⎛ ⎞
( ω ) = − sin ⎜ ⎟
⎠
+∞
4A
πω
πω
⎛ ω t
⎝ 2
2 0
( t) = − sin ⎜ ⎟sin( ω t) dω
∫
0
2
( ω ) = − jπ
b( ω) = sin ⎜ j.
⎝
⎞
⎠
2
⎛ ω t
⎝ 2
4A
0
2. Integraldarstellung in komplexer Form
Obwohl wir oben schon F berechnet haben, soll an dieser Stelle auch der komplexe
Rechnungsgang gezeigt werden.
F
∞
∫
−∞
( ω) f ( t)
− jωt
= e dt
=
0 t
− jωt
∫
Ae
dt
+
−t0 0
= −
A
e
jω
ω
0
∫ ( − A )
A
jω
e
− jωt
dt
− jωt
0
− jωt
t0
+ e
−t0 0
⎟
⎠
⎞
0

Fourierreihen und Fouriertransformation 50
Weil wiederum
folgt gleich wie oben
A ⎛ − ⎜ −
jω
⎝
A
e
jω
⎞ A
⎟ + e
⎠ jω
= −
jωt0
− jωt0
A
= − +
jω
A
jω
jωt0
− jω
0
( e + e )
2 t
= − 2A
j
ω
t
( cos( ω ) 1)
0 −
2
( 2α
) 2sin ( α )
1 − cos =
F
4A
2 ω t0
⎛ ⎞
( ω ) = j sin ⎜ ⎟
⎠
Die komplexe Integraldarstellung von f wird zu
f
ω
4A
ω
2
j
( t) j e
ω t
= sin ⎜ ⎟ dω
2π
∫
⎝
⎛ ω t
⎝ 2
2
+∞
1 0
3. Amplituden(dichte)spektrum
Wir berechnen das Amplituden(dichte)spektrum
also
−∞
4A
⎛ ω t0
⎞
F =
ω ⎝ 2 ⎠
2
j ( ) ( ω )
( ) ϕ ω
j
ω = sin ⎜ ⎟ e A( ω) e
ϕ
A
⎛ ⎞
( ω ) = sin ⎜ ⎟
⎠
⎝
2
⎞
⎠
4A
2 ω t0
ω
.
−
A
jω
Abbildung 28: Amplituden(dichte)spektrum.
4. Phasen(dichte)spektrum
Wir berechnen das Phasen(dichte)spektrum
also
F
4A
2 t0
⎛ ⎞
( ω ) = j sin ⎜ ⎟
⎠
ω
⎝
ω
2

Fourierreihen und Fouriertransformation 51
Arg
( F ( ω)
) =∠F( ω)
⎧π
⎪
,
2
= ⎨
⎪ π
− ,
⎩ 2
ω > 0
ω < 0
Abbildung 29: Phasen(dichte)spektrum.
4.5.2 Beispiel (Hammerschlag)
Es sei die Funktion
f
( t) = u( t)
t e
−αt
=
⎧
⎨
⎩
t e
0,
−αt
, t ≥0
t < 0
mit α > 0 gegeben, vgl. Abbildung 30. Dabei bezeichnet u die Heaviside'sche
Sprungfunktion.
Abbildung 30: Hammerschlag.
1. Integraldarstellung in reeller Form
Wir setzen die Integrale
mit
an. Dann berechnen wir
f
+∞
∫
0
( t) = ( a( ω) cos ( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
a
b
1
π
1
π
+∞
( ω) = f ( t) cos( ω t)
∫
−∞
+∞
dt
( ω) = f ( t) sin( ω t)dt
∫
−∞

Fourierreihen und Fouriertransformation 52
a
+∞
1
1
=
π
∫
π
∫
−αt
( ω) f ( t) cos( ω t) dt = t e cos( ω t)
b
−∞
+∞
−αt
( ω) f ( t) sin( ω t) dt = t e sin( ω t)
+∞
1
1
=
π
∫
π
∫
−∞
0
+∞
0
dt
dt
=
=
sehr mühsame Rechnung
sehr mühsame Rechnung
1
=
π
1
=
π
2 2
α −ω
2 2
( α + ω ) 2
2αω
2 2
( α + ω ) 2
Bei diesem Signal wird klar, warum die komplexe Rechnung (siehe gleich nachher)
sehr viel zeitsparender als die soeben ausgeführte reelle Rechnung mit den mühsamen
Integralen ist.
f
+∞
∫
0
( t) = ( a( ω) cos( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
1
+
π
+∞
∫
0
⎛ 2 2
⎜ α −ω
⎝
2 2
( α + ω )
2
cos
( ω t)
+
2αω
2 2
( α + ω )
2
sin
⎞
⎟
⎠
( ω t) ⎟ dω
und
F
( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
=
2 2
α −ω
−
2αω
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
2
j.
2. Integraldarstellung in komplexer Form
Obwohl wir oben schon F berechnet haben, soll an dieser Stelle auch der komplexe
Rechnungsgang gezeigt werden.
F
∞
∞
( ) = − j ωt
−αt
− jωt
− ( + )
ω ∫ ( ) = ∫
= ∫
t α jω
f t e dt t e e dt t e
−∞
∞
( α + jω
) −t( α + jω
)
FS ⎛
−t
⎜
te e
dt =
− −
⎝ α + jω
( α + j )
2
0 0
ω
2 2 2 2
( + jω) ( α −ω
) + ( 2αω)
2 2
( α −ω
− 2αωj)
1
1
= =
= =
2 2
α −ω
⎞
⎟
⎠
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α ω )
2
α +
−
∞
0
2αω
2
j
Integraldarstellung von
f
( t)
+∞ 2 2
⎜ α −ω
2αω
= −
2
1
2π
∫
−∞
⎛
⎜
⎝
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
⎞
j ⎟e
⎟
⎠
j ω t
d
ω
3. Amplituden(dichte)spektrum:
Wir berechnen das Amplituden(dichte)spektrum
also
1
2 2
jϕ
( ω )
jϕ
F ( ω)
= e = −
j e =
2
2
( α + jω)
A
( ω)
α −ω
2αω
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
2 2
α −ω
2αω
= − j =
2 2 2 2 2 2
2 2
( α + ω ) ( α + ω ) α + ω
1
( ω ) jϕ
( ω )
( )
A ω e

Fourierreihen und Fouriertransformation 53
Abbildung 31: Amplituden(dichte)spektrum.
4. Phasen(dichte)spektrum
Wir berechnen das Phasen(dichte)spektrum
( ω)
=
2 2
α −ω
2αω
F
2
−
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
j
also
und
Arg
− 2αω
⎜
2
⎝α
− ω
⎛ ⎞
( F ( ω)
) ∠F( ω) = arctan ⎟
⎠
cos
=
2
2 2
α −ω
( ∠F ( ω)
) =
2
2 2
α + ω
Abbildung 32: Phasen(dichte)spektrum.
5. Leistungs(dichte)spektrum
Das Leistungsspektrum des Signals ist
P
1
2π
( ω) = F( ω)
2 1 1
=
2π
2 2
( α + ω ) 2

Fourierreihen und Fouriertransformation 54
Abbildung 33: Leistungs(dichte)spektrum.
Die Gesamtleistung beträgt
Gesamtleis tung
∞
∞
∞
2 1
1 ⎛ 1 ⎞
= ⎜
⎟ dω
2 2
2π
2π
−∞
−∞
−∞⎝
α + ω ⎠
2
( f ) ∫ f ( t) dt = ∫ F( ω) dω
= ∫
∞
1 1
FS
1 ⎛
= ∫ dω
= ⎜
π
0
1
= .
3
4α
Die Leistung im Frequenzband [–α, α] beträgt
Leistung
Damit folgt
1
2π
α
ω
2 2 2 ⎜ 2 2 2
( α + ω ) π ⎝ 2α
( α + ω )
2
( f ) [ −α
, α ] = ∫ F( ω) dω
= ∫
−α
Leistung im Frequenzband
Gesamtleistung
Bemerkung
Da das betrachtete Signal
1
2π
α
−α
⎛ 1
⎟ ⎞
⎜
2 2
⎝α
+ ω ⎠
1 ⎛ ω 1 ⎛ ω ⎞⎞
=
arctan
2 2 2 3
π
⎜
+ ⎜ ⎟
2α
( α ω ) 2α
α
⎟
⎝ +
⎝ ⎠⎠
1 ⎞
⎜
⎛ π
= 1 + 3
⎟
4 ⎝ 2 .
πα ⎠
[ − α,
α ]
f
( t)
=
⎧t
e
= ⎨
⎩0,
−αt
2
dω
α
1 ⎛ π ⎞
1
3
⎜ + ⎟
4πα
⎝ 2 ⎠
=
1
3
4α
,
t ≥0
t < 0
0
1
+
3
2α
2
⎛ ω ⎞⎞
arctan⎜
⎟
⎟
⎝ α ⎠⎠
2 + π
= 0.818 ~82%
2π
mit α > 0 für t < 0 verschwindet, könnten wir die Fouriertransformierte in diesem Fall
auch dem Laplace-Lexikon entnehmen und s durch jω ersetzen,
t e
und a durch jω ersetzen, dann folgt
− αt
F ( s)
1
( ) 2
=
s +α
∞
0

Fourierreihen und Fouriertransformation 55
( ω)
=
1
=
2 2
α −ω
2αω
F
2
2 2 2 2 2 2
( jω
+ α ) ( α + ω ) ( α + ω )
−
j

Fourierreihen und Fouriertransformation 56

Fourierreihen und Fouriertransformation 57
5 Die diskrete Fouriertransformation (DFT)
5.1 Einführung
Wenn bei der klassischen Fourierreihe eines periodischen Signals f nach endlich vielen
Termen abbricht, dann erhalten wir die bestmögliche Approximation in dem Sinne, dass
die Differenz, resp. Fläche zwischen Approximation und Signal im least square Sinne
minimiert wird. Wir erhalten ein trigonometrisches Polynom n ten Grades der Form
mit
n
n
a0
f ( t)
= + ∑ak
cos( kω0t)
+ ∑bk
sin( kω0t)
2
a
k
2
=
T
T
∫
0
T
f
k = 1
( t ) cos( kω
t)
2
bk
= f ( t ) ( k t ) dt k n
T
∫ sin ω0
für = 1, ,
0
und wir haben ein least square Approximationsproblem gelöst.
Ein zweites und anderes Problem tritt bei abgetasteten Signalen mit Schrittweite oder
Samplingraster ∆t auf. Da möchten wir das Signal an abgetasteten Werten reproduzieren
und zwar ebenfalls mit einem trigonometrischen Polynom, d. h. mit endlich vielen Sinusund
Kosinustermen. Es handelt sich dann um ein Interpolationsproblem.
Das best approximierende trigonometrische Polynom 4.Grades z. B. für das Signal
f (t) = t
im Intervall [0, 2π] (periodische fortgesetzt) ist
⎛ sin
( ) ( )
( 2 t) sin( 3 t) sin( 4 t) ⎞
g t = π − 2 ⎜sin
t + + + ⎟⎠
⎝ 2 3 4
und diese Funktion ist die beste least square Approximation des Signals, aber es reproduziert
das Signal nicht exakt an äquidistanten (gleich weit auseinanderliegenden) Stellen,
d. h. zu Zeitpunkten n ∆t.
0
dt
k = 1
für
k = 1, ,
n
Abbildung 34: Periodisch fortgesetzte
Funktion f (blau) mit Approximation
g (magenta).

Fourierreihen und Fouriertransformation 58
In der Signalverarbeitung möchten wir das Signal exakt an regelmässigen Zeitpunkten
t k
= k ⋅ ∆t
reproduzieren. Wenn wir das Signal exakt an den N Stellen
0,
∆t,
2∆t,
3∆t,
, ( N −1) ∆t
mit trigonometrischen Funktionen reproduzieren möchten, dann müssen wir die Fourierkoeffizienten
anders berechnen (an eventuellen Sprungstellen wird der Mittelwert aus
links- und rechtsseitigem Grenzwert reproduziert). Abbildung 35 zeigt die Lösung dieses
Problems indem mit Hilfe der Diskreten Fouriertransformation (DFT) das trigonometrische
Polynom berechnet wurde.
Abbildung 35: Fourierinterpolation von f (t ) = t ist
h(t ) = π− 1.8961sin(t) – 0.7854sin(2t) – 0.3253sin(3t)
Im Vergleich dazu in Abbildung 36 nochmals die klassische Fourierreihe gezeichnet zusammen
mit den Abtastpunkten.
Abbildung 36: Fourierreihe von f (t ) = t ist
g(t ) = π − 2sin(t) – sin(2t) – 0.6667sin(3t) – 0.5sin(4t)
Die obere Kurve reproduziert exakt die 8 Punkte in regelmässigen Abständen
2π
∆t =
8
der Funktion f (t) = t. Wegen der Sprünge bei t = 2πk wird der Wert an der Sprungstelle
durch den Mittelwert zwischen Anfangs und Endwert der Funktion im Periodenintervall

Fourierreihen und Fouriertransformation 59
0 + 2π =π
2
reproduziert. Die untere Kurve approximiert im least square Sinn am besten die Funktion
f (t) = t
im ganzen Intervall [0, 2π]. Das liegt vor allem an den Sprungstellen. Dort ist die klassische
Fourierreihe besser.
Ergänzung
Das Mass für die Güte der Approximation im least square Sinn ist die Grösse:
2π
2 1
2
s = ∫ ( f ( t) − g( t)
) dt
2π
0
Für die obere Kurve ist s 2 = 16.7, für die untere Kurve ist s 2 = 11.3. Die klassische Fourierreihe
ist also tatsächlich besser im least square Sinn über das ganze Periodenintervall,
aber sie reproduziert das Signal nicht in regelmässigen Zeitabständen.
Um die Fourierkoeffizienten für das Abtastproblem, d. h. Interpolationsproblem zu berechnen,
müssen wir die Berechnungsvorschrift der klassischen Fourierkoeffizienten modifizieren.
Das wollen wir im nächsten Abschnitt tun.
5.2 Berechnung der diskreten Fourierkoeffizienten
Wir gehen also davon aus, dass ein periodisches Signal y = f (t) im Intervall [0, 2π] an 2N
Stellen abgetastet wird. Für die t-Koordinaten der Stützstellen gilt dann:
2π π
t k = k ∆ t , 0 ≤ k ≤ 2N
− 1 und ∆ t = =
2N
N
Die abgetasteten Werte y k = f(t k ) sollen durch ein trigonometrisches Polynom interpoliert
werden. Das trigonometrische Polynom muss ebenfalls genau 2Ν unbekannte Koeffizienten
haben, denn das Einsetzen der Punkte ( t
k
, y k
) liefert 2N Gleichungen.
Das Polynom
g
N
N
( t) = α
o
+ ∑ ( α
k
cos( kt) + β
k
sin( kt)
)
k = 1
hat einen Term zu viel. Wir setzen deshalb das trigonometrische Polynom mit
g
N
N 1
=
o ∑ −
k = 1
( t) α + ( α cos( kt) + β sin( kt)
) + α cos( Nt)
k
An. Der letzte Sinusterm 2 ist gleich null. Einsetzen der 2N Punkte (t k , y k ) liefert das lineare
Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten
k
N
2 Für den letzten Term sin(Nt k ) gilt für jeden Punkt
π
t k
= k
N
also folgt
⎛ kπ
⎞
sin ( N t k
) = sin⎜
N ⎟ = sin( k π ) = 0 ,
⎝ N ⎠
d. h. der Term β sin ( N ) = 0 für jedes β N .
N
t k

Fourierreihen und Fouriertransformation 60
⎛1
⎜
⎜1
⎜
⎜
⎝1
cost
cost
cost
0
1
sin t
sin t
sin t
0
1
⎛ α
0 ⎞
cos( 2t0
) cos( Nt0
) ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ y0
⎞
⎜ α ⎟ ⎜ ⎟
1
cos( 2t1
) cos( Nt1)
⎜ ⎟ ⎜ y1
⎟
β =
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
cos( 2t
) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2N
−1
cos Nt
2N
− ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ y
2N
−1 ⎠
⎝α N ⎠
(2N, 2N) (2N, 1) (2N, 1)
2N
−1
2N
−1
1
mit der formalen Lösung
⎛ α
o ⎞
−1
⎜ ⎟ ⎛1
cost0
sin to
cos ( 2t
o
) cos ( Nt ) ⎞ ⎛ y
o
o ⎞
⎜ α1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ β ⎟ = ⎜1
cost1
sin t1
cos ( 2t1
) cos ( Nt1
) ⎟ ⎜ y1
⎟
1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ 1 cos
2 −1
sin
2 −1
cos ( 2
2 −1
) cos (
2 −1
)
⎝ t
N
t
N
t
N
Nt
N ⎠ ⎝ y2N
−1 ⎠
⎝α
N ⎠
(2N, 1) (2N, 2N) (2N, 1)
Natürlich werden die Lösungen des Gleichungssystems nicht verändert, wenn die Reihenfolge
der Kosinus- und Sinusterme verändert wird, d. h. wenn pro Zeile der Koeffizientenmatrix
zuerst alle Kosinusterme und anschliessend alle Sinusterme genommen werden
(es kann der Code beim Programmieren ein Bisschen erleichtern), d. h.
g
N
N
( t) = α + α cos( kt) + β ( kt)
∑
k = 1
resp. nach Einsetzen der Punkte t 0 , ,t 2N-1 :
⎛1
⎜
⎜1
⎜
⎜
⎝1
cost
cost
cost
0
1
cos
cos
cos
N −1
∑
0
sin
k
k = 1
( 2t0
) cos( Nt0
) sin t0
sin (( N −1)
t0
)
( 2t
) cos( Nt ) sin t sin (( N −1)
t )
1
1
( 2t
) ( ) (( − ) ) ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
cos Nt2N
−1
sin t2N
−1
sin N 1 t2N
− ⎠
2N
−1
1
1
k
1
⎛ α
0 ⎞
⎞
α1
⎛ y0
⎜
⎜ y1
α =
N ⎜
⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ β ⎜
1
⎜ ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎝ y
2N
⎝ β
N −1 ⎠
5.2.1 Beispiel (Interpolierendes Fourierpolynom)
Gesucht ist das diskrete, interpolierende Fourierpolynom für die 8 Datenpunkte, d. h., es
ist N = 4.
⎛ π π 3π
5π
3π
7π
⎞
t = ⎜0,
, , , π , , , ⎟
⎝ 4 2 4 4 2 4 ⎠
und
y = ( 0,
2, 2, 2, 0, − 2, − 2, − 2)
Es handelt sich dabei um ein diskret abgetastetes Rechteckssignal, vgl. Abbildung 37.
Wir lösen das Problem mit Matlab, indem wir zunächst das oben angegebene lineare
Gleichungssystem lösen und so die (reellen) diskreten Fourierkoeffizienten
erhalten.
( α α , , α , β , β ) t
0
,
1
N 1
,
N
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

Fourierreihen und Fouriertransformation 61
Abbildung 37: An 8 Stellen diskret abgetastetes
Rechtecksignal.
Der folgende Matlab-Code löst dieses Problem:
% Diskrete Fourierinterpolation durch
% Lösen des Gleichungssystems
% Filename = dfi1_Rechteck.m
func='Rechtecksimpulsfolge';
v=0; % eventuelle Verschiebung des 2*pi Intervalls
x=(0:7)*pi/4+v;
n=length(x);
y=[0 2 2 2 0 -2 -2 -2];
M=[ones(size(x')) cos(x') cos(2*x') cos(3*x') cos(4*x')
sin(x') sin(2*x') sin(3*x')];
% Lösen des Gleichungssystems
% -> Fourierkoeffizienten=Spaltenvektor
FK=M\y'
pause
Anschliessend plotten wir die Werte des trigonometrischen Polynoms im Intervall [0, 2π].
Wir erzeugen eine feinere Unterteilung des Intervalls [0, 2π], z. B. mit dem Matlab-
Befehl x=0:0.01:2*pi und wollen in diesem Intervall die y Werte gemäss
4
( x) = α + α cos( k x) + β ( k x)
∑
k = 1
∑
y = g
4 0
sin
k
berechnen. Nehmen wir an, wir hätten (m+1) x- und y- Werte Dann lautet die Berechnungsvorschrift
in Matrixform für die y-Werte:
⎛ y ⎞
⎜ ⎟
⎜ y1
⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎝ y m ⎠
3
k = 1
0 ⎛1
cos x0
cos( 2x0
) cos( Nx0
) sin x0
sin (( N −1)
x0
)
1 cos x cos( 2x
) cos( Nx ) sin x sin (( N −1)
x )
⎜ ⎜ ⎜
⎜
⎝1
1
cos x
m
cos
1
1
( 2x
) ( ) (( − ) ) ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ m
cos Nxm
sin xm
sin N 1 xm
1
k
1
⎛ α
0 ⎞
⎜ ⎟
⎞ ⎜
α1
⎟
⎜ ⎟
⎜ α ⎟
N
⎜ ⎟
⎜ β1
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ β
N −1 ⎠
(m+1, 1) (m+1, 2N) (2N, 1)

Fourierreihen und Fouriertransformation 62
Ein möglicher zweiter Matlab-Code mit Figurenoutput:
X=v:0.01:v+2*pi;
Y=[ones(size(X')) cos(X') cos(2*X') cos(3*X') cos(4*X')
sin(X') sin(2*X') sin(3*X')]*FK;
hold on
plot(x,y,'ko','MarkerFaceColor','k')
plot(X,Y','LineWidth',1.5)
grid on
title(['Funktion f(t) mit ', num2str(n) , ' Abtastpunkten']);
pause
close
Abbildung 38: Interpolierendes Fourierpolynom
des diskret abgetasteten Rechtecksignals.
Und schliesslich das Amplitudenspektrum , d. h. das Zeichnen der Amplitudenwerte
2 2
= α + β
als senkrechte Balken an den Frequenzstellen k ω0
.
% Amplitudenspektrum
FK=FK';
a0=FK(1);
a=FK(2:n/2+1);
b=[FK(n/2+2:n) 0];
ampl=[a0 sqrt(a.^2+b.^2)];
hold on
for k=0:n/2
plot([k k],[0 ampl(k+1)],'k','LineWidth',2)
end
plot([-1 n/2+1],[0 0],'k','LineWidth',1.5)
grid on
title(['Amplitudenspektrum von f(t)=' ,func ,' bei
',num2str(n), ' Abtastpunkten']);
axis([-1 n/2+1 -0.1*max(ampl) 1.1*max(ampl)]);
Ak
k
k

Fourierreihen und Fouriertransformation 63
pause
close
Abbildung 39: Amplitudenspektrum des an 8
Stellen diskret abgetasteten Rechtecksignal.
5.2.2 Beispiel (Random Signal interpolieren)
Wir wollen ein Signal im Intervall [0, 2π] mit ganzzahligen Zufallszahlenwerten bestehend
aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 der Länge 32 erzeugen und interpolieren sowie dessen
Spektrum darstellen.
Matlab-Code zur Erzeugung der Abbildung 40.
% Diskrete Fourierinterpolation durch Lösen des
% Gleichungssystems
% Filename = dfi1_random.m
n=32; % muss eine gerade Zahl sein
x=(0:n-1)*2*pi/n;
y=round(4*rand(1,n));
xcos=cos(x'*[1:n/2]);
xsin=sin(x'*[1:n/2-1]);
M=[ones(size(x')) xcos xsin];
FK=M\y'; % Fourierkoeffizienten
X=0:0.01:2*pi;
k=length(X);
Xcos=cos(X'*[1:n/2]);
Xsin=sin(X'*[1:n/2-1]);
Y=[ones(size(X')) Xcos Xsin]*FK;
plot(x,y,'bo',X,Y','k','LineWidth',2)
title(['Zufallsfunktion f(t) mit ',num2str(n) ,' Abtastpunkten']);
grid on
pause
close

Fourierreihen und Fouriertransformation 64
% Darstellung des Amplitudenspektrums
FK=FK';
a0=FK(1);
a=FK(2:n/2+1);
b=[FK(n/2+2:n) 0];
ampl=[a0 sqrt(a.^2+b.^2)];
hold on
for k=0:n/2
plot([k k],[0 ampl(k+1)],'k','LineWidth',2)
end
plot([-1 n/2+1],[0 0],'k','LineWidth',1.5)
grid on
title(['Amplitudenspektrum von f(t)=' ,func ,' bei
',num2str(n), ' Abtastpunkten']);
axis([-1 n/2+1 -0.1*max(ampl) 1.1*max(ampl)]);
pause
close
Abbildung 40: Realisierung einer Zufallszahlenfolge bestehend aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 der
Länge 32.
5.2.3 Explizite Lösung des Gleichungssystems - Fourierkoeffizienten
Wie wir gesehen haben, sind die diskreten Fourierkoeffizienten die Lösungen des Gleichungssystems
⎛ α ⎞
⎛1
⎜
⎜1
⎜
⎜
⎝1
cost
cost
cost
0
1
sin t
sin t
sin t
0
1
( 2t0
) cos( Nt0
)
( 2t
) cos( Nt )
0
cos
⎞ ⎜ ⎟ ⎛ y0
⎞
⎜ α ⎟ ⎜ ⎟
1
cos
1
1 ⎜ ⎟ ⎜ y1
⎟
β =
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
cos( 2t
) ( ) ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2N
−1
cos Nt
2N
− ⎜ ⎟ ⎝ y
2N
−1 ⎠
⎝α N ⎠
(2N, 2N) (2N, 1) (2N, 1)
2N
−1
2N
−1
1
Wegen der speziellen Struktur der Koeffizientenmatrix (Orthogonalitätseigenschaft der
trigonometrischen Funktionen) berechnen sich die Lösungen, d. h. die diskreten (reellen)
Fourierkoeffizienten α 0 , α 1 , β 1 , …, β N-1 , α N explizit wie folgt:

Fourierreihen und Fouriertransformation 65
Diskrete Fourier Interpolation
Es sei g in [0, 2π] definiert und 2π periodisch, dann gilt
mit
g
N
N
∑ − 1
k = 1
( t) = α + α cos( Nt) + ( α cos( kt) + β ( kt)
)
0 N
k
k
sin
2N
∑ − 1
1
f ( t i
)
2N
i=
0
1 2N
−1
2 −1
1
∑
= ∑
N
f ti
cos Nti
2N
i=
0
2N
i=
0
2N
1
1
∑ −
f ( ti
) cos( kti
)
N i=
0
2N
1
1
∑ −
f ( ti
) sin ( kti
)
N i=
0
α =
,
α
0
N
k
=
i
( ) ( ) ( −1) f ( t )
α =
,…k = 1, …, 2N – 1
β =
,…k = 1, …, 2N – 1
k
Für das trigonometrische Polynom g N (t) gilt die Interpolationseigenschaft:
π
g
N
( tk
) = f ( tk
), tk
= k , k = 0,..., 2N
−1
N
Ein Beweis der Formeln ist im Kapitel 0 gegeben.
Wenn wir die Formeln für α n und β n kennen, dann können wir natürlich auch direkt die
Formeln für die Fourierkoeffizienten verwenden.
Matlab-Code zur Berechnung der diskreten Fourier-Interpolation mit Hilfe der Formeln
für die Koeffizienten.
% Skript Beispiel Diskrete reelle Fourier Interpolation
% Benutzung der Formeln für die Koeffizienten
% Funktion f(t) 2*pi periodisch
% Filename = dfi2_diverse_Fkt.m
i
N=8;
n=2*N;
% Grad des trig. Polynoms
% Anzahl Punkte
% verschiedene Funktionen zum ausprobieren
% Es wird das Intervall [0,2pi] zugrundegelegt,d.h
% Funktionsgleichungen gelten für das Intervall [o,2pi]
% mit periodischer Fortsetzung
% Die Lage des Intervalls ist egal solange die Periode 2pi
ist.
func='exp(t)';
%func='(t+abs(t))/2';
%func='abs(t)/pi'; % Dreiecksfolge
%func='exp(-t.^2)';
%func='exp(-abs(t))';
%func='sin(t)';
%func='1./(1+t.^2)';

Fourierreihen und Fouriertransformation 66
%func='sin(2*pi*5*t)+sin(2*pi*15*t)+randn(size(t))';
f=inline(func);
B=-pi; % Anfangspunkt des Intervalls
t=B:pi/N:B+2*pi; % Vektor der Länge 2N+1
% t=-pi:pi/N:pi;
y=f(t);
y(1)=(y(1)+y(2*N+1))/2; % Mittelwert 1. und letzter Wert
y=y(1:2*N);
% 2N Funktionswerte (letzter gestrichen)
t=t(1:2*N);
% 2N Stützwerte (letzter gestrichen)
a0=sum(y)/2/N;
A=[1:N]'*t;
% (n,2N)-Matrix
AC=cos(A)/N; %
AS=sin(A)/N; %
a=AC*y';
% (n,1)-Matrix
a(N,1)=a(N,1)/2; % Ausnahmeregel für a(n,1)
b=AS*y';
% (n,1)-Matrix, b(n)=0 automatisch)
tplot=B-2*pi:pi/200:B+4*pi;% Bereich für Plot
ai=[1:N]'*tplot;
aci=cos(ai);
bci=sin(ai);
zi=a'*aci+b'*bci+ones(size(tplot))*a0;
tp=B:pi/200:B+2*pi;
ff=f(tp);
ff=ff(1:length(tp)-1);
ff=[ff ff ff ff(1)];
plot(t,y,'ko','MarkerFaceColor','k')
hold on
plot(tplot,zi,tplot,ff,':', 'LineWidth',1.5)
grid on
axis([B-2*pi-1 B+4*pi+1 min(y)-1 max(y)+1])
title(['Diskrete Fourierreihe von f(t)=', func, ' in
[',num2str(B),',',num2str(B+2*pi),']',' vom Grad
',num2str(N)]);
pause
close
% Darstellung des Amplitudenspektrums
ampl=[a0 sqrt(a.^2+b.^2)'];
hold on
for k=0:n/2
plot([k k],[0 ampl(k+1)],'k','LineWidth',2)
end
plot([-1 n/2+1],[0 0],'k','LineWidth',1.5)
grid on
title(['Amplitudenspektrum von f(t)=' ,func ,' bei
',num2str(n), ' Abtastpunkten']);

Fourierreihen und Fouriertransformation 67
axis([-1 n/2+1 -0.1*max(ampl) 1.1*max(ampl)]);
pause
close
Abbildung 41: Links: die diskrete Fourier-Interpolation für die Funktion
t
f ( t) = e
im Intervall [-π, π] periodisch fortgesetzt. Anzahl der Abtastpunkte ist N = 16. Grad des trigonometrischen
Polynoms ist demzufolge N/2 = 8. Rechts: das Amplitudenspektrum
2 2
A k = α + ).
k
β k
5.3 Die diskrete Fouriertransformation (DFT und FFT)
5.3.1 Reelle Schreibweise der DFT
Das Wesentliche an der obigen diskreten Fourier Interpolation ist die Berechnung der
diskreten Fourierkoeffizienten
α
0
, α1
, , α
N
, β1
, ,
β N −1
.
Mittels der oben angegebenen Berechnungsvorschrift haben wir aus den 2N Funktionswerten
f k die 2N Koeffizienten α k und β k , d. h. die Amplituden der vorkommenden Frequenzen,
berechnet. Aus diesen 2N Koeffizienten können wir umgekehrt wieder die Funktionswerte
rekonstruieren. In Mathematik und Technik wird von einer Transformation und
einer inversen Transformation, in diesem Fall von der diskreten Fouriertransfomation
DFT gesprochen. Mit der Abkürzung f (t k ) = f k haben wir
DFT
inverse DFT
[ f f f ]
[ α α α β ]
[ f f f ]
0 , 1,
,
2N
−1
0 , 1,
,
N
,
1, ,
β N −1
Die (reelle) DFT besteht aus den folgenden Transformationsformeln:
α =
k
2N
1
1
∑ −
N i=
0
2N
1
1
∑ −
i=
0
f
( t ) cos( kt )
i
( t ) sin ( kt )
i
, k = 0, …, N
β
k
= f , k = 0, …, 2N – 1
i
i
N
0 , 1,
,
2N
−1

Fourierreihen und Fouriertransformation 68
und die inverse (reelle) DFT besteht aus den Transformationsformeln 3 :
N 1
α
0
α
N
f
k
= f ( tk
) = + cos( Nt
k
) + ( α
j
cos( jtk
) + β
j
sin( jtk
)), k = 0, …, 2N – 1
2 2
∑ −
j=
1
5.3.2 Komplexe Schreibweise der DFT (FFT)
Aufgrund der Euler'schen Formel
e jt = cos t + j sin t
können die obigen Transformationsformeln komplex geschrieben werden. Im Jahre 1965
haben J. W. Cooley und J. W. Tukey aus dieser komplexen Darstellung die so genannte
FFT (Fast Fourier Transform) entwickelt, vgl. [1].
Wenn mit dieser Euler'schen Beziehung die Kosinus- und Sinusausdrücke vom letzten
Abschnitt durch die komplexen Grössen e jt und e -jt ausgedrückt werden, dann kann gezeigt
werden, dass sich f folgendermassen darstellen lässt:
mit
c
k
f
1
1
2N
= ∑ −
yie
2N
i=
0
Der Beweis ist im Kapitel 7 angegeben.
2N
∑ − 1
k=
0
jkt
( t) = c k
e
π
− jki
N
, k = 0, ,2N
−1
Zusammenfassung
Unter der (komplexen) DFT verstehen wir die Transformation, welche die 2N Datenpunk-
y y , y (Datenvektor) mittels den Gleichungen
te ( )
0
,
1
,
2N
−1
1
1
2N
= ∑ − − jki
N
ck
yie
, k = 0, ,
2N
−1
2N
i=
0
c c , c transformiert.
in den Vektor ( )
0
,
1
,
2N
−1
Die inverse DFT transformiert den Vektor ( c , c )
y
k
2N
1
= ∑ −
c e
i=
0
i
π
jki
N
π
c mittels den Gleichungen
0
,
1
,
2N
−1
wieder zurück auf den Datenvektor ( y , y )
,
0
,
1
,
2N
−1
k = 0, ,2N
−1
y .
3 Wir haben die beiden Koeffizienten α 0 und α N geschrieben als
und
α 0
2
α
N .
2
Das hat den Vorteil, dass wir bei den Formeln der DFT keine separaten Formeln für α 0 und α N
haben.

Fourierreihen und Fouriertransformation 69
5.3.3 Zusätzliche Bemerkungen
1. Wegen der Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion
jx jx j2 πk
j( x + 2πk
)
e = e e = e
und der speziellen Struktur der Koeffizientenmatrix kann die Berechnung der komplexen
Fourierkoeffizienten c k in Gruppen vorgenommen werden (FFT) und so den Rechenaufwand
von n 2 auf n log 2 (n) reduziert werden. Besonders wirksam ist diese Reduktion
des Rechenaufwandes, wenn die Anzahl Punkte eine 2 er Potenz (2N = 2 n ) ist,
vgl. Kapitel 8.
2. In der Fachliteratur gibt es eine verwirrende Vielfalt von verschiedenen Definitionen
der DFT und ihrer Inversen. Dies betrifft im Wesentlichen die Normierung (Bei uns
der Faktor
1
2N
in den Formeln für c k .). Dazu kommt, dass die verschiedenen Implementierungen in
Mathematikprogrammen oft schlecht dokumentiert sind. Matlab benutzt für die DFT
den Algorithmus der FFT mit der umgekehrten Normierung als bei uns (Faktor
1
2N
bei der ifft und nicht bei der fft), vgl. Kapitel 9.
5.3.4 Matlab-Befehle
Eingangsvektor y der Funktionswerte der Länge 2N
FFT
Fast Fourier Transformation
Ausgangsvektor der 2N komplexen Fourierkoeffizienten
IFFT
inverse Fast Fourier Transformation
Eingangsvektor y
>> y=[4 1 2 3 4 5 6 7]
y =
4 1 2 3 4 5 6 7
>> c=fft(y)
c =
Columns 1 through 5
32.0000 0 + 9.6569i 0 + 4.0000i 0 + 1.6569i
0
Columns 6 through 8
0 - 1.6569i 0 - 4.0000i 0 - 9.6569i
>> y2=ifft(c)
y2 =
4 1 2 3 4 5 6 7

Fourierreihen und Fouriertransformation 70
Wie die obigen Matlab-Zeilen zeigen, ist die fft eine rein abstrakte Transformation von
n Daten, resp. Funktionswerten y k in n andere Werte c k . Physikalisch enthalten die c k die
Information über die Amplituden der vorkommenden Frequenzen. Die zeitlichen Stützwerte
t k gehen gar nicht als input in die fft-Prozedur ein. Per Definition verwendet Matlab
fft das Periodenintervall [0, 2N].
Wenn mit Hilfe der durch fft gelieferten c k die Funktionsgleichung des interpolierenden
trigonometrischen Polynoms in der Form
N
( ) ( ) ∑ − 1
α
0
α
N
f t = + cos Nω0t
+ ( α
k
cos( kω0t) + β
k
sin( kω0t)
)
2 2
k = 1
ermitteln werden soll (um es z. B. zeichnen zu können), dann müssen wir zweierlei wissen.
1. Beziehungen zwischen den komplexen Fourierkoeffizienten c k , welche von einem fft
Algorithmus geliefert werden und den reellen Fourierkoeffizienten α k und β k .
2. Die konkreten Zeitwerte t k .
Beziehung zwischen den c k (Matlab) und den α k , β k (Theorie)
Wir gehen aus von n = 2N Funktionswerten und der Funktionsgleichung
N
( ) ( ) ∑ − 1
α
0
α
N
f t = + cos Nω0t
+ ( α
k
cos( kω0t) + β
k
sin( kω0t)
)
2 2
k = 1
Dann gelten die folgenden Beziehungen. Wir beachten, dass in Matlab die Vektoren mit
Index 1 beginnen. In der Literatur (und auch bei uns) beginnen wir in der Regel mit c 0 , a 0 ,
y 0 = f (t 0 ), etc.
Theorie
Matlab-Code
1
α 0 =
2N
c0 a0 = c(1)/(2*N)
1
α k = Re(ck ), k = 1,
, N −1
a(k) = 2*real(c(k+1))/(2*N)
N
1
β k = – Im(ck ), k = 1,
, N −1
b(k) = -2*imag(c(k+1))/(2*N)
N
1
α N = cN a(N) = c(N+1)/(2*N)
2N
Für den Beweis der obigen Beziehungen siehe Kapitel 7.
Die so ermittelten α k und β k liefern Interpolation an den Stützwerten
t k
= k , k = 0, ,2N
−1
fft() liefert also eine T = 2N-periodische Funktion (Signal), d. h. das ω 0 in der obigen
Funktionsgleichung des trigonometrischen Polynoms hat den Wert
2π
2π
π
ω
0
= = = .
T 2N
N

Fourierreihen und Fouriertransformation 71
Zusammenfasung
Wenn die α k und β k gemäss obigen Beziehungen aus den komplexen c k berechnet werden,
dann interpoliert das trigonometrische Polynom
N 1
α
0
α
N
⎛ ⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞⎞
f ( t) = + cos( t) + ∑ − π
π
π ⎜α
j
cos⎜
t ⎟ + β
j
sin⎜
t ⎟⎟,
t ∈[ 0, 2 N ]
2 2
k = 1 ⎝ ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠⎠
die Datenwerte (y- Werte) an den Stützwerten t k = k mit k = 0, …, 2N – 1, d. h. also bei
den t-Werten 0, 1, 2, …, 2N – 1 und liefert eine Funktion mit Periode 2N.
Wenn die Datenwerte sich auf das Intervall [0, 2π] beziehen und t k die Stützwerte
π π π
π
0, , 2 ,3 , ,( 2N
−1
)
N N N
N
sind, dann wird ω 0 = 1 und das interpolierende trigonometrische Polynom lautet:
N 1
α
0
α
( ) = + cos( ) + ∑ −
N
f t
N t ( α
j
cos( k t) + β
j
sin( k t)
),
t ∈[ 0, 2π
]
2 2
k = 1
5.3.5 Beispiel (Reelle vs komplexe Matlab-Fourierkoeffizienten)
Das folgende Programm implementiert die Berechnung der α k und β k aus den komplexen
c k und zeichnet das interpolierende Polynom für das Intervall [0, 2N] sowie für das Intervall
[0, 2π].
% Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten
% aus den komplexen von fft
% Fillename = dfi3_Dreieck.m
clear
%y=[4 1 2 3 4 5 6 7]; % y-Werte des Signals
y=[0 1 2 3 4 3 2 1];
n=length(y);
% Plotten der Datenpunkte
subplot(3,1,1)
plot([0:7],y,'o','MarkerFaceColor','k');% plot der Datenpunkte
title(['Periode = ',num2str(n)]);
axis([-2 n+2 -1 n/2+1])
grid on
hold on
% Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten mit fft
fy=fft(y);
% Berechnung der reellen Foruriekoeffiziente aus den komplexen
a0=fy(1)/n
for i=1:n/2-1
a(i)=2/n*real(fy(i+1)); % Bezeichnungen Literatur Index
mit 0 beginnend

Fourierreihen und Fouriertransformation 72
end
a(n/2)=real(fy(n/2+1))/n;
an=a'
% Bezeichnungen Literatur Index mit 0 beginnend
for i=1:n/2-1
b(i)=-2/n*imag(fy(i+1));
end
bn=b'
% Plot des interpolierten Signals
% t-Intervall ist [0,2N]=[0,n]
% Abtastzeitpunkte tk=k/(2N) , k = 0,..., 2N-1
t=-1:0.05:n+1; % Bereich zum plotten
yf=a0;
for i=1:n/2-1
yf=yf+a(i)*cos(i*2*pi/n*t)+b(i)*sin(i*2*pi/n*t);
end
yf=yf+a(n/2)*cos(pi*t);
plot(t,yf,'LineWidth',1.5);
pause
% Falls Periode der Abtastzeitpunkte = 2*pi
% t- Intervall ist [0,2pi]
% Abtastzeitpunkte tk=k*pi/N , k = 0,..., 2N-1
t=[0:7]*2*pi/n;
subplot(3,1,2)
plot(t,y,'o','MarkerFaceColor','k');
title(['Periode = 2pi']);
axis([-pi/2 5/2*pi min(y)-1 max(y)+1])
grid on
% Plot des interpolierten Signals
t=-1:0.05:2*pi+1; % Bereich zum plotten
yf=a0;
for i=1:n/2-1
yf=yf+a(i)*cos(i*t)+b(i)*sin(i*t);
end
yf=yf+a(n/2)*cos(n/2*t);
hold on
plot(t,yf,'LineWidth',1.5);
pause
close
Output des obigen Matlab-Programms:
>> dfi3_Dreieck
a0 =
4
an =

Fourierreihen und Fouriertransformation 73
bn =
0
0
0
0
-2.4142
-1.0000
-0.4142
Abbildung 42: Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten aus
den komplexen von fft.
5.4 Abtastwerte in einem beliebigen Intervall [a, a + T]
Wenn die Periode allgemein T beträgt, d. h.
π
ω = 2
0
T
,
dann liefert das trigonometrische Polynom
N −1
α
0
α
N
f t = + cos Nω0t
+ ∑ α
k
cos kω0t
2 2
( ) ( ) ( ( ) + β sin( kω
t)
)
N −1
α
0
α
N ⎛ 2π
N ⎞ ⎛ ⎛ 2π
k ⎞ ⎛ 2π
k ⎞⎞
= + cos⎜
t ⎟ + ∑⎜α
k
cos⎜
t ⎟ + β
k
sin⎜
t ⎟⎟
2 2 ⎝ T ⎠ k = 1 ⎝ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎠
die Signalwerte für die Zeitpunkte
T
t k
= k , k = 0, ,2 N −1
2N
d. h., der Abtastzeitpunktevektor lautet
⎛ 1 1 2 N −1
⎞
⎜0,
T,
T , , T
⎟ .
⎝ 2 N N 2 N ⎠
k = 1
k
0

Fourierreihen und Fouriertransformation 74
Wenn die Abtastwerte sich auf ein allgemeines Intervall [a , a + T] beziehen, dann muss
im trigonometrischen Polynom noch zusätzlich t durch t – a ersetzt werden
N
( ) ( ) ∑ − 1
α
0
α
N ⎛ 2πN
⎞ ⎛ ⎛ 2πk
⎞ ⎛ 2πk
⎞⎞
f t = + cos⎜
t − a ⎟ + ⎜α
k
cos⎜
( t − a) ⎟ + β
k
sin⎜
( t − a)
⎟⎟
2 2 ⎝ T ⎠ k = 1 ⎝ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎠
5.4.1 Beispiel (Abgetastete Werte in einem beliebigen Intervall)
Das folgende Programm implementiert die Berechnung der α k und β k aus den komplexen
c k für das Intervall [a, a + T] mit a = 0 und Τ = 2π.
% Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten
% aus den komplexen von fft
% abgetastete Werte in einem beliebigen Intervall [a,a+T]
% Beispiel Funktion f(t)=1./(1+t.^2)
% Fillename = dfi4_fft.m
clear
% verschiedene Funktionen zum ausprobieren
%func='exp(t)';
%func='abs(t)/pi'; % Dreiecksfolge
%func='exp(-t.^2)';
%func='exp(-abs(t))';
%func='sin(t)';
func='1./(1+t.^2)';
%func='sin(2*pi*5*t)+sin(2*pi*15*t)+randn(size(t))';
%func='t';
f=inline(func);
N=8; % 2N Werte
n=2*N;
% Defintion des Intervalls, in welchem die obigen
% Funktionsgleichungen gelten
A=0; % Anfangswert des Intervalls
T=2*pi; % Periode des Intervalls
ome=2*pi/T;
% Abtastung an 2N Stellen im Intervall
x=[0:2*N-1].*T/(2*N)+A;
y=f(x);
n=length(y);
% Plotten der abgetasteten Punkte
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor','k'); % plot der Datenpunkte
title(['Periode = ',num2str(T)]);
axis([A-T A+2*T min(y)-1 max(y)+1])
grid on
% Berechnung der Fourierkoeffizienten mit fft
y(1)=0.5*(f(A)+f(A+T));
fy=fft(y);

Fourierreihen und Fouriertransformation 75
pause
% Berechnung der reellen Koeffizienten
a0=fy(1)/n
for i=1:n/2-1
a(i)=2/n*real(fy(i+1));
end
a(n/2)=real(fy(n/2+1))/n;
an=a'
for i=1:n/2-1
b(i)=-2/n*imag(fy(i+1));
end
bn=[b'; 0]
% Plot des interpolierenden trig. Polynoms
t=A-T:T/100:A+2*T; % Bereich zum plotten
yf=a0;
for i=1:n/2-1
yf=yf+a(i)*cos(i*ome*(t-A))+b(i)*sin(i*ome*(t-A));
end
yf=yf+a(n/2)*cos(N*ome*(t-A));;
plot(t,yf,'LineWidth',1.5);
hold on
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor','k');% plot der Datenpunkte
grid on
title([' f(t)=' ,func ,' in
[',num2str(A),',',num2str(A+T),']',...
' mit ',num2str(n), ' Abtastpunkten']);
axis([A-1.5*T A+2.5*T min(y)-1 max(y)+1])
pause
close
% Darstellung des Amplitudenspektrums
ampl=[a0 sqrt(an.^2+bn.^2)'];
hold on
for k=0:n/2
plot([k k],[0 ampl(k+1)],'k','LineWidth',2)
end
plot([-1 n/2+1],[0 0],'k','LineWidth',1.5)
grid on
title(['Amplitudenspektrum von f(t)=' ,func ,' bei
',num2str(n), ' Abtastpunkten']);
axis([-1 n/2+1 -0.1*max(ampl) 1.1*max(ampl)]);
pause
close

Fourierreihen und Fouriertransformation 76
Abbildung 43: Links: Fourierinterpolation. Rechts: Amplitudenspektrum.
5.5 Beispiele und Anwendungen
5.5.1 Beispiel (Entstörung eines Signals)
Das simulierte ungestörte Signal ist im folgenden Beispiel
y = sin ( 10π t) + sin( 24π
t)
,
d. h. eine Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit Frequenzen
f
1
=5 Hz
und
f
2
=12 Hz .
Auf dieses Signal wird eine zufällige Störung mit gleichverteilten (d. h. keine bevorzugte
Frequenz) Zufallszahlen zwischen 0 und 1 überlagert (addiert). Anschliessend wird eine
Spektralanalyse des Signals vorgenommen um die gesuchten Frequenzen zu entdecken.
% Erzeugen und Zeichnen eines gestörten Signals
% Fouriertransformation und Frequenzspektrum
% Entstoerung des Signals
% Aus 'Mohr': Numerische Methoden in der Technik
% Filename = entstoerung.m
n=512;
t=0:2*pi/n:2*pi;
AbtFreq=n/(2*pi); % Abtastfrequenz
freq1=5;
freq2=12;
% abgetastete Werte
x=sin(2*pi*freq1*t)+cos(2*pi*freq2*t)+randn(size(t));
% Darstellung des Zeitsignals
subplot(2,1,1)
plot(t,x)
title('Zeitsignal');
axis([0 2*pi -1.1*max(x) 1.1*max(x)]);
pause

Fourierreihen und Fouriertransformation 77
% Berechnung und Darstellung des Leistungsspektrums
Y=fft(x,n);
pyy=Y.*conj(Y)/n;
f=[0:(n/2-1)]/(2*pi);
subplot(2,1,2)
plot(f,pyy(1:n/2),'LineWidth',1);
title('Frequenzdarstellung');
axis([0 AbtFreq/2 0 1.1*max(pyy)]);
pause
close
[c i]=sort(pyy(1:n/2));
fre=i/2/pi;
fre1=fre(n/2)
fre2=fre(n/2-1)
T=1/min(fre1,fre2)
te=0:2*pi/n:10*T;
subplot(2,1,1)
plot(te,x(1:length(te)))
title('Originalsignal');
axis([0 10*T -1.1*max(x) 1.1*max(x)]);
pause
hold on
% entstoertes Signal
xe=sin(2*pi*fre1*te)+cos(2*pi*fre2*te);
subplot(2,1,2)
plot(te,xe)
title('entstoertes Signal');
axis([0 10*T -1.1*max(x) 1.1*max(x)]);
pause
close
Abbildung 44: Die beiden Outputfenster des obigen Matlab-Codes.

Fourierreihen und Fouriertransformation 78
5.5.2 Beispiel (Filterung eines Signals)
Das simulierte Signal ist im folgenden Beispiel
1
y = sin ( 10π t) + cos( 24π
t) + sin( 80π
t)
,
2
d. h. eine Überlagerung von drei harmonischen Schwingungen mit Frequenzen
f =5 1
Hz
und
f =12 2
Hz
und
f
3
= 40 Hz .
Der hochfrequente Anteil wird durch abschneiden im Frequenzbereich eliminiert.
% Erzeugen und Zeichnen eines gestörten Signals
% Fouriertransformation und Frequenzspektrum
% Entstoerung des Signals
% Prinzip Aus 'Mohr': Numerische Methoden in der Technik
% Filename = filterung.m
n=1024;
t=0:2*pi/n:2*pi;
AbtFreq=n/(2*pi); % Abtastfrequenz
freq1=5;
freq2=12;
freq3=40;
% abg. Werte
x=sin(2*pi*freq1*t)+cos(2*pi*freq2*t)+0.5*sin(2*pi*freq3*t);
% Darstellung des Zeitsignals
subplot(2,1,1)
plot(t,x)
title('Zeitsignal');
axis([0 2*pi -1.1*max(x) 1.1*max(x)]);
pause
% Berechnung und Darstellung des Leistungsspektrums
fy=fft(x,n);
pyy=fy.*conj(fy)/n;
f=[0:(n/2-1)]/(2*pi);
subplot(2,1,2)
plot(f,pyy(1:n/2),'LineWidth',1);
title('Frequenzdarstellung');
axis([0 AbtFreq/2 0 1.1*max(pyy)]);
pause
close
% Abschneiden der hohenFrequenzen
fa=30; % Abschneidefrequenz
kk=floor(2*pi*fa); %Index der Abschneidefrequenz

Fourierreihen und Fouriertransformation 79
fy=fy(1:kk);
kkk=min(kk,n/2);
T=1/fa;
% Berechnung der reellen Koeffizienten
a0=fy(1)/n;
for i=1:kkk-1
a(i)=2/n*real(fy(i+1));
end
for i=1:kkk-1
b(i)=-2/n*imag(fy(i+1));
end
te=0:2*pi/n:10*T; % Bereich zum plotten
subplot(2,1,1)
plot(te,x(1:length(te)))
title('Originalsignal');
axis([0 10*T -1.1*max(x) 1.1*max(x)]);
pause
hold on
% Plot des interpolierenden trig. Polynoms
yf=a0;
for i=1:kkk-1
yf=yf+a(i)*cos(i*te)+b(i)*sin(i*te);
end
subplot(2,1,2)
plot(te,yf)
title('gefiltertes Signal');
axis([0 10*T -1.1*max(x) 1.1*max(x)]);
pause
close
Abbildung 45: Die beiden Outputfenster des obigen Matlab-Codes.

Fourierreihen und Fouriertransformation 80

Fourierreihen und Fouriertransformation 81
6 Anhang: Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten
Wir beweisen die Formeln für die reellen diskreten Fourierkoeffizienten als Grenzfall
eines approximierenden trigonometrischen Polynoms. Die Lösung für das Approximationsproblem
kennen wir schon
t −1
t
( A A) A y
x = .
Wir gehen also von einem überbestimmten linearen Gleichungssystem aus. Einsetzen der
2N Punkte in die Funktionsgleichung g liefert ein lineares Gleichungssystem für die 2n+1
Unbekannten a o , a k , b k . Für N > n führt dies zu einem überbestimmten lineares Gleichungssystem
A x = y mit A = (2N, 2n+1)-Matrix und y = (2N, 1)-Matrix
⎛ 1 cost0
sint0
cos
⎜
⎜ 1 cost1
sin t1
cos
1
A=
⎜
⎜
⎝ 1 cost
sin t cos
und dem Vektor der abgetasteten Werte
⎛ y0
⎞
⎜ ⎟
⎜ y1
⎟
y = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ y
2N
−1 ⎠
und
⎛α
0 ⎞
⎜ ⎟
⎜α1
⎟
⎜ β ⎟
1
x = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
α
n ⎟
⎝ β
n ⎠
als unbekannten Vektor.
Die beste Lösung des Gleichungssystems
( 2t0
) cos( nt0
) sin ( nt0
)
( 2t
) cos( nt ) sin ( nt )
( 2t
) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
cos nt2N
−1
sin nt2N
− ⎠
2N
−1
2N
−1
1
t
t
A A x = A y ist
t −1
t
( A A) A y
x = .
Die Elemente der Matrix A t A bestehen aus den Skalarprodukten der Spaltenvektoren. Dabei
ergeben sich Summen der Form
2N
1
cos mt cos nt ,
und
∑ −
k = 0
2N
∑ −
k = 0
2N
∑ −
k = 0
1
sin
1
cos
( ) ( )
k
( mt ) sin ( nt )
k
( mt ) sin ( nt )
k
k
k
k
1
1
⎞

Fourierreihen und Fouriertransformation 82
Fast alle diese Summen sind 0 (diskretes Analogon der Orthogonalitätsbedingungen der
trigonometrischen Funktionen: siehe Fouriertransformation). Nur gerade für m = n ergeben
sich von 0 verschiedene Werte. Es gelten konkret die folgenden Werte:
⎧ 0, m ≠ n
2N
⎪
∑ − 1
1
cos ( mt
k
) cos ( nt
k
) = ⎨ 0.5, m = n ≠ N
2N
k = 0
⎪
⎩ 1, m = n = N
2N
∑ − 1
1
N k = 0
2
sin
( mt ) sin ( nt )
k
k
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0,
0.5,
1,
m ≠ n
m = n ≠ N
m = n = N
1 2N
∑ −1
2N
k = 0
cos
( mt ) sin ( nt ) = 0, m n
k k
,
Mit diesen Beziehungen lauten die Normalengleichungen
also
t
t
A A x = A y
⎛2N
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝ 0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
2
⎛
⎜
⎜ k
2N
−1
⎜
⎜ ∑ f
0
k = 0
⎞ ⎜
2N
−1
⎟
0
⎜
⎟ ⎛α
⎞
⎟ ⎜ ∑ f
0
⎜
k = 0
0⎟
⎜α
⎟ ⎜ 2N
−1
1
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ∑ f
0 β1
⋅⎜
⎟=
⎜ k = 0
⎟
2N
−1
0 ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ∑ f
⎟
⎜
αn
⎟ ⎜
k = 0
⎟
0
⎜
⎟ ⎝ βn
⎠
⎜
N ⎠ ⎜ 2N
−1
⎜ ∑ f
⎜ k = 0
⎜ 2N
−1
⎜ ∑ f
⎝ k = 0
N −1
∑
= 0
( t )
( t ) cos( t )
( t ) sin ( t )
( t ) cos( 2t
)
k
( t ) cos( 2t
)
k
( t ) cos( nt )
k
k
k
f
k
⎞
⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ( tk
) sin ( ntk
) ⎟
⎠
k
k
k
k
k
(2n+1, 2n+1) (2n+1, 1) (2n+1, 1)
Matrix A t A Matrix x Matrix A t y
Die Koeffizientenmatrix A t A ist diagonal und wir erhalten somit sehr einfach die beste
Lösung des Approximationsproblems (n < N).
Diskrete Fourier Approximation
g
n
n
( t) = α
0
+ ∑( α
k
cos( kt) + β
k
sin( kt)
)
k = 1

Fourierreihen und Fouriertransformation 83
α =
0
k
2N
∑ − 1
1
2N
i=
0
2N
1
1
∑ −
f
N i=
0
2N
1
1
∑ −
f
N i=
0
f
( )
t i
( t ) cos ( kt )
α =
k = 1, … , n
k
i
( t ) sin ( kt )
β =
k = 1, … , n
i
Für das Interpolationsproblem setzen wir n = N und β N = 0. Der Koeffizient β N müssen
wir zu 0 machen, weil wir 2N Datenpunkte haben und deshalb auch nur 2N Koeffizienten
bestimmen können. Der Ansatz
g
N
N
i
i
( t) = α
0
+ ∑( α
k
cos( kt) + β
k
sin( kt)
)
k = 1
würde 2N+1 unbekannte Koeffizienten enthalten. Für Interpolation erhalten wir dann das
folgende Gleichungssystem.
⎛2N
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝ 0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
2
⎛
⎜
⎜ k
2N
−1
⎜
0⎞
⎟ ⎜ ∑ f
k = 0
0⎟
⎜
2N
−1
⎟⎛
α0
⎞ ⎜
0 ⎜ ⎟ ⎜ ∑ f
⎟⎜
α k = 0
1 ⎟
0⎟
⎜ 2N
−1
⎜ ⎟
⎟ β = ⎜
1
⎜ ⎟ ∑ f
0
⎟ ⎜ k = 0
⎜ ⎟ 2N
−1
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟⎝α
⎠
⎜ ∑ f
N
0⎟
⎜
k = 0
⎜
2N
⎠ ⎜
⎜ 2N
−1
⎜ ∑ f
⎝ k = 0
N −1
∑
= 0
( t )
( t ) cos( t )
( t ) sin ( t )
( t ) cos( 2t
)
k
( t ) cos( 2t
)
k
k
k
f
k
⎞
( ) ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ tk
cos Ntk
⎠
k
k
k
k
(2N, 2N) (2N, 1) (2N, 1)
Matrix A t A Matrix x Matrix A t y
Die Bestimmung der Koeffizienten ist wiederum sehr einfach (Koeffizientenmatrix ist
diagonal) und liefert die gesuchten Fourierkoeffizienten für die Fourier Interpolation.
Weil β N = 0, entfällt also der letzte Sinusterm und wir erhalten.
Diskrete Fourier Interpolation
Es sei g in [0, 2π] definiert und 2π-periodisch.
g
N
N
∑ − 1
k = 1
2N
∑ − 1
1
f ( t i
)
N i=
0
1 2N
−1
2 −1
1
∑
= ∑
N
f ti
cos Nti
N i=
0
2N
i=
0
( t) = α + α cos( Nt) + ( α cos( kt) + β ( kt)
)
α
0
=
,
2
α
N
=
2
0 N
k
k
sin
i
( ) ( ) ( −1) f ( t )
i

Fourierreihen und Fouriertransformation 84
k
2N
1
1
∑ −
N i=
0
2N
1
1
∑ −
( t ) cos ( kt )
α = f , k = 1, … , N – 1
i=
0
i
( t ) sin ( kt )
β
k
= f , k = 1, … , N – 1
i
i
N
Für das trigonometrische Polynom g N gilt die Interpolationseigenschaft
g
N
i
π
N
( t ) = f ( t ) , t = k , k = 0,...,2N
−1
k
k
k

Fourierreihen und Fouriertransformation 85
7 Anhang: Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten
Wir gehen aus von der 2π-periodischen Funktion f mit den 2N Stützstellen
π
t i
= i , i = 0, ,2N
−1
N
und benutzen die nach cos(k t ) und sin(k t ) aufgelösten Euler'schen Formeln
und
cos
sin
1 jkt − jkt
( kt) = ( e + e 2
)
1 jkt − jkt
( kt) = − j( e −e
2
)
Einsetzen dieser Ausdrücke in der reellen Fourierreihe liefert z. B. für N = 4
f
a1
jt − jt a2
2 jt −2
jt a3
3 jt −3
jt a4
4 jt −4
jt
( t) = a + ( e + e ) + ( e + e ) + ( e + e ) + ( e + e )
0
− j
2
2
Ordnen nach den Funktionen e jkt liefert
f
2
2
jt − jt b2
2 jt −2
jt b3
3 jt − jt
( e −e
) − j ( e −e
) − j ( e −e
)
b 1
3
jt 1
2 jt 1
3 jt a4
4 jt 4 jt
( t) = a +
1 ( a −b
j ) e + ( a −b
j ) e + ( a −b
j ) e + ( e + e
− )
0
2
1
1
2
2
2
1 1
1
−
1 1
2 2
3 3
− jt
−2
jt
3 jt
( a + b j ) e + ( a + b j ) e + ( a + b j ) e
+
2
2
2
Einsetzen der Interpolationspunkte (t k , y k ) liefern die 2N Gleichungen.
Wir wählen 2N = 8
jt 1
k
2 jt 1
k
3 jt a
k 4 4 jtk
4 jtk
( t ) = y = a +
1 ( a −b
j ) e + ( a −b
j ) e + ( a −b
j ) e + ( e + e )
−
f
k k 0 1 1
2 2
3 3
2
2
2
2
1 − jt 1
k
−2
jt 1
k
−3
jtk
+ ( a1
+ b1
j ) e + ( a2
+ b2
j ) e + ( a3
+ b3
j ) e , k = 0, ... , 2N – 1 = 7
2
2
2
π
π π
Weil t k
= k , k = 0, ,
2N
−1
gilt für alle t k , dass 8 t k
= 8k
= 8k
= 2π
k und somit
N
N 4
jt 2 jk
e k π
= e = 1. Daraus wiederum folgt, dass
e
e
e
− jtk
−2
jtk
−3
jtk
= e
= e
= e
− jtk
e
−2
jtk
−3
jtk
−4
jtk
−4
jtk
8 jtk
4 jtk
e = e e = e
sodass die Gleichungen auch wie folgt geschrieben werden kann.
1
jt 1
k
2 jt 1
k
3 jtk
4 jtk
f ( tk
) = yk
= a0
+ ( a1
−b1
j ) e + ( a2
−b2
j ) e + ( a3
−b3
j ) e + a4e
2
2
2
1
5 jt 1
k
6 jt 1
k
7 jtk
+ ( a3
+ b3
j ) e + ( a2
+ b2
j ) e + ( a1
+ b1
j ) e , k = 0, ..., 2N – 1 = 7
2
2
2
oder
8 jtk
e
e
8 jtk
8 jtk
= e
2
2
7 jtk
= e
= e
3
6 jtk
5 jtk
2
3
2
2

Fourierreihen und Fouriertransformation 86
jtk
2 jtk
3 jtk
4 jtk
5 jtk
6 jtk
7 jtk
( t ) = y = c + c e + c e + c e + c e + c e + c e c e
f
k k
7
mit den Abkürzungen
c
0
= a0
= reell
4 jt
c
4
= a4
= reell alternierende Vorzeichen, weil e k
= ± 1
1
c5
= c3
= ( a3
+ b3
j )
2
1
c6
= c2
= ( a2
+ b2
j )
2
1
c7
= c1
= ( a1
+ b1
j )
2
Einsetzen der 2N Funktionswerte y i liefert ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten
c k der folgenden Gestalt
c0 + c1
+ c2
+ + c2N −1
= y0
jt 2
( 2 1)
0 1
1 j t1
j N − t1
c + c e + c
y
2e
+ + c2N
−1e
=
1
jt
2
( 2 1)
0 1
2 j t2
j N − t2
c + c e + c
y
2e
+ + c2N
−1e
=
2
…
jt2
N −1
j2t2
N −1
j( 2N
−1)
t2
N −1
c0
+ c1e
+ c2e
+ + c2N
− 1e
= y2N
−1
π
Wenn wir die Stützwerte t i
= i , i = 0, ,2N
−1
einsetzen, dann bekommen wir mit der
N
j π
0 1 2
3
4
5
6
+
N
Abkürzung ω = e (2N te 2N
Einheitswurzel weil ω = 1)
c0 + c1
+ c2
+ + c2N −1
= y0
2
2
c + c1ω + c2ω
+ + c2
−1ω
2 4
4
c + c1ω
+ c2ω
+ +
c2
−1e
…
2N
−1
4N
−4
c c ω + c ω + + c
( N −1)
0 N
= y1
( N −2)
0 N
= y2
( 2N
−1)( 2N
−1)
0
+
1
2
2N
−1
= y2N
−1
Die Koeffizientenmatrix
⎛1
1 1 1 ⎞
⎜
2
2N
−1
⎜1
ω ω ω
F = ⎜ 2
4
4N
−2
1 ω ω ω
⎜
⎜
⎜
( )( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
4N
−2
2N
−1
2N
−1
⎝1
ω ω ω ⎠
ist symmetrisch und wir können zusätzlich zeigen, dass sie orthogonal ist. Sie lässt sich
deshalb nach Normieren und (konjugiert komplex) Transponieren einfach invertieren
⎛1
1 1 1 ⎞
⎜
2
2N
−1
⎜1
ω ω ω
F –1 1
= ⎜ 2
4
4N
−2
1 ω ω ω
2N
⎜
⎜
⎜
( )( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
4N
−2
2N
−1
2N
−1
⎝1
ω ω ω ⎠
ω

Fourierreihen und Fouriertransformation 87
mit ω konjugiert komplex zu ω. Weil ω = ω
(komplexen) Fourierkoeffizienten
c
k
2N
−1
2N
−1
1 −ki
1
= ∑ yiω
= ∑ yie
2N
2N
i=
0
i=
0
π
− j
N −1
e = erhalten wir für die diskreten
π
− jki
N
, k = 0, ,
2N
−1
und das interpolierende komplexe trigonometrische Polynom lautet
f
2N
∑ − 1
k = 0
jkt
( t) = c k
e
1
1
2N
mit = ∑ − − jki
N
ck
yie
, k = 0, ,
2N
−1
2N
i=
0
π

Fourierreihen und Fouriertransformation 88

Fourierreihen und Fouriertransformation 89
8 Anhang: Reduktion des Rechenaufwandes durch FFT
Im Folgenden wird die Reduktion des Rechenaufwandes bei Anwendung des FFT-
3
Algorithmus gegenüber der herkömmlichen DFT bei Verwendung von 8 = 2 ( N = 4)
Datenpunkten x , y ) mit x i
= iπ / 4 für i = 0,
1, ,
7 dargestellt.
(
i i
Für das Interpolationspolynom gilt im Falle N = 4 für die reelle Darstellung:
a a
g ,
3
0 4
4
( x)
= + cos(4x)
+
)
2 2
k=
1
i=
0
∑( ak
cos( k x)
+ bk
sin( k x )
7
1
a
k
= ∑ yi
cos( k xi
) für k = 0;1;
;
4
4
7
1
b
k
= ∑ yi
sin( k xi
) für k =1;
;
3 ,
4
j=
0
für die komplexe Darstellung:
1
g ,
c
7
( x)
= ∑c
exp( )
4 k
j k x
8 k = 0
k
=
7
∑
i=
0
i k π
yi
exp( − j ) für k = 0;1;
;
7 .
4
Beim direkten Berechnen sind die komplexen Fourier-Koeffizienten c
k
gegeben durch
c +
0
= y0
+ y1
+ y2
+ y3
+ y4
+ y5
+ y6
y7
c
1
=
y
0
1−
j
+
2
y
1
−
j y
2
1+
j
−
2
y
3
− y
4
+
j −1
y
2
5
+
j y
6
1+
j
+
2
y
7
c +
c
2
= y0
− j y1
− y2
+ j y3
+ y4
− j y5
− y6
j y7
3
= y
0
1+
j
− y
2
1
+ j y
2
1−
j
+ y
2
3
− y
4
1+
j
+ y
2
5
−
j y
6
+
j −1
y
2
7
c
4
= y0
− y1
+ y2
− y3
+ y4
− y5
+ y6
− y7
c
5
=
y
0
+
j −1
y1
−
2
j y
2
1+
j
+
2
y − y
3
4
1−
j
+
2
y
5
+
j y
6
1+
j
−
2
y
7
c
c
6
= y0
+ j y1
− y2
− j y3
+ y4
+ j y5
− y6
− j y7
7
1+
j j −1
1+
j 1−
j
= y0
+ y1
+ j y2
+ y3
− y4
− y5
− j y6
+ y7
.
2
2
2
2
Da die Datenmenge klein ist, hat ein beachtlicher Teil der Koeffizienten von y i dieser
Gleichungen den Wert 1 oder –1. Da für N > 4 dies weniger häufig der Fall ist, wird zum
Zwecke der genauen Bestimmung der Zahl der Rechenoperationen, auch die Multiplikation
mit 1 oder –1 mitgezählt, obwohl dies hier nicht nötig wäre. Somit sind 64 Multipli-

Fourierreihen und Fouriertransformation 90
kationen, resp. Divisionen und 56 Additionen, resp. Subtraktionen zum direkten Berechnen
von c0 , c1
, , c7
notwendig.
Bei Verwendung des FFT-Algorithmus wird zuerst
1
d 0 = ( c0
+ c4
) = y0
+ y2
+ y4
+ y
2
1
d 1 = ( c0
− c4
) = y1
+ y3
+ y5
+ y
2
1
d
2
= ( c1
+ c5)
= y0
− j y2
− y4
+ j y
2
d
d
1
= ( c
2
1−
j
) = y
2
1+
j
− y
2
6
7
6
j −1
y
2
1+
j
+
2
3 1
− c5
1
3
+
5
j y7
1
2
4 = ( c2
+ c6
)
=
y
0
− y
1
d = ( c2
− c6)
= j ( − y1
+ y3
− y5
+
2
d
d
2
+
y
4
− y
5
y7
1
=
2
c + c
6
(
3 7)
7
1
= ( c
2
berechnet, anschliessend
3
= y
0
+ j y
1+
j
− c7
) = − y1
2
1
e +
2
2
− y
4
− j y
1−
j
+ y
2
3
6
6
)
1+
j
+ y
2
5
1−
j
− y
2
0 = ( d0
+ d4)
= y0
y4
e4 = ( d2
+ d6
) = y0
− y4
1
1
e 1 = ( d0
− d4)
= y2
+ y6
e
5
= ( d2
− d6)
= j ( − y2
+ y6)
2
2
1
1
1−
j
e
2
= ( j d1
+ d5)
= j ( y3
+ y7)
e6 = ( j d3
+ d7)
= ( y3
− y7)
2
2
2
1
1
1+
j
e
3
= ( j d1
− d5)
= j ( y1
+ y5)
e7 = ( j d3
− d7)
= ( y1
− y5)
2
2
2
und schlussendlich
1
f =
2
0 = ( e0
+ e4
) y0
f4
= e2
+ e6
= y7
1
f =
2
1
2
1 ⎛
⎜
2
⎝
1
f
2 ⎜ ⎛
=
⎝
j + 1
2
j + 1
e
2
7
)
− e
⎞
⎟
⎠
j −1
1 = ( e0
− e4)
y4
5
2 6
3
2
⎞
⎟
j −1
= y
⎠ 2

Fourierreihen und Fouriertransformation 91
1
f =
2
2
= ( j e1
+ e5)
j y6
f6
= e3
+ e7
= − y5
1
f =
2
1 ⎛ j 1 ⎞
⎜
−
⎟
1+
j
2
2
⎝
⎠ 2
1 ⎛ j 1 ⎞
⎜
−
1+
j
= e e ⎟ = − y .
2
2
⎝
⎠ 2
3
= ( j e1
− e5)
j y2
7
3
−
7
1
Die Beziehungen zwischen den f k , e k , d k , c k sind von den speziellen Datenpunkten
unabhängig. Sie hängen nur vom Wert N = 4 ab. Für jedes N existiert eine eindeutige
Menge von Faktoren in den Gleichungen, die zuerst berechnet und abgespeichert werden.
Ausgehend von f k können nun rückwärts über die e k , d k die c k für
k = 0 ;1; ; 2m
− 1 berechnet werden:
(1) f 0 = y0
f 1 = y4
f
2
= j y6
f
3
= j y2
j −1 j −1 1+
j
1+
j
f4
= y
7
f5
= y
3
f6
− y5
f7
= −
2
2
2
2
f
= y1
1−
j
j + 1
(2) e 0 = f0
+ f1
e
1
= − j ( f2
+ f3)
e
2
= ( f4
+ f5)
e
3
= − ( f6
+ f7)
2
2
e f − e f − e f −
e = f −
4 = 0 f1
5 = 2 f3
6 = 4 f5
7 6 f7
(3) d 0 = e0
+ e1
d
1
− j ( e2
+ e3)
d
= d
2
e4
+ e5
= d = − j e + )
3
(
6
e7
4 = e0
− e1
d5 = e2
− e3
d6 = e4
− e5
d7 = e6
− e7
(4) c 0 d0
+ d1
c
= c 1 = d2
+ d3
c 2 = d4
+ d5
c 3 = d6
+ d7
4 = d0
− d1
c5 = d2
− d3
c6 = d4
− d5
7 6 d7
Werden die Fourier-Koeffizienten c0 , c1
, , c7
auf diese Weise berechnet, so wird die
in der folgenden Tabelle gezeigte Anzahl von Operationen benötigt. Wir beachten, dass
Multiplikation mit 1 oder –1 wieder mitgezählt wird
Schritt Multiplikationen/
Divisionen
Additionen/
Subtraktionen
1 8 0
2 8 8
3 8 8
4 0 8
total 24 24
c
=
d
−
Das Fehlen von Multiplikationen, resp. Divisionen in Schritt 4 folgt aus der Tatsache,
dass für jedes m die Koeffizienten c k aus d k in gleicher Weise berechnet werden, d. h.
c k = d2 k + d2k
+ 1 und k + m = d2 k − d2k
+ 1
c für k = 0 ;1; ; m − 1

Fourierreihen und Fouriertransformation 92
so dass keine komplexe Multiplikation notwendig ist. Insgesamt erfordert die direkte Berechnung
der Koeffizienten c0 , c1
, , c7
64 Multiplikationen, resp. Divisionen und 56
Additionen, resp. Subtraktionen; die schnelle Fourier-Transformation reduziert die Berechnungen
auf 24 Multiplikationen, resp. Divisionen und 24 Additionen, resp. Subtraktionen.

Fourierreihen und Fouriertransformation 93
9 Anhang: Auszug aus der Matlab-Dokumentation
fft
One-dimensional fast Fourier transform
Syntax
Definition
Y = fft(X)
Y = fft(X,n)
Y = fft(X,[],dim)
Y = fft(X,n,dim)
The functions X = fft(x) and x = ifft(X) implement the transform and inverse
transform pair given for vectors of length N by:
where
is an Nth root of unity.
Description
Y = fft(X) returns the discrete Fourier transform (DFT) of vector X, computed with a
fast Fourier transform (FFT) algorithm.
If X is a matrix, fft returns the Fourier transform of each column of the matrix.
If X is a multidimensional array, fft operates on the first nonsingleton dimension.
Y = fft(X,n) returns the n-point DFT. If the length of X is less than n, X is padded
with trailing zeros to length n. If the length of X is greater than n, the sequence X is truncated.
When X is a matrix, the length of the columns are adjusted in the same manner.
Y = fft(X,[],dim) and Y = fft(X,n,dim) applies the FFT operation across
the dimension dim.

Fourierreihen und Fouriertransformation 94
Examples
A common use of Fourier transforms is to find the frequency components of a signal buried
in a noisy time domain signal. Consider data sampled at 1000 Hz. Form a signal containing
50 Hz and 120 Hz and corrupt it with some zero-mean random noise:
t = 0:0.001:0.6;
x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);
y = x + 2*randn(size(t));
plot(y(1:50))
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('time (seconds)')
It is difficult to identify the frequency components by looking at the original signal. Converting
to the frequency domain, the discrete Fourier transform of the noisy signal y is
found by taking the 512-point fast Fourier transform (FFT):
Y = fft(y,512);
The power spectrum, a measurement of the power at various frequencies, is
Pyy = Y.* conj(Y) / 512;
Graph the first 257 points (the other 255 points are redundant) on a meaningful frequency
axis.
f = 1000*(0:256)/512;
plot(f,Pyy(1:257))
title('Frequency content of y')
xlabel('frequency (Hz)')

Fourierreihen und Fouriertransformation 95
This represents the frequency content of y in the range from DC up to and including the
Nyquist frequency. (The signal produces the strong peaks.)
Algorithm
The FFT functions (fft, fft2, fftn, ifft, ifft2, ifftn) are based on a library
called FFTW [3], [4]. To compute an N-point DFT when N is composite (that is, when N
= N 1 N 2 ), the FFTW library decomposes the problem using the Cooley-Tukey algorithm
[1], which first computes N 1 transforms of size N 2 , and then computes N 2 transforms of
size N 1 . The decomposition is applied recursively to both the N 1 - and N 2 -point DFTs until
the problem can be solved using one of several machine-generated fixed-size "codelets."
The codelets in turn use several algorithms in combination, including a variation of Cooley-Tukey
[5], a prime factor algorithm [6], and a split-radix algorithm [2]. The particular
factorization of N is chosen heuristically.
When N is a prime number, the FFTW library first decomposes an N-point problem into
three (N-1)-point problems using Rader's algorithm [7]. It then uses the Cooley-Tukey
decomposition described above to compute the (N-1)-point DFTs.
For most N, real-input DFTs require roughly half the computation time of complex-input
DFTs. However, when N has large prime factors, there is little or no speed difference.
The execution time for fft depends on the length of the transform. It is fastest for powers
of two. It is almost as fast for lengths that have only small prime factors. It is typically
several times slower for lengths that are prime or which have large prime factors.
See Also
fft2, fftn, fftshift, ifft
dftmtx, filter, and freqz in the Signal Processing Toolbox

Fourierreihen und Fouriertransformation 96
References Matlab Documentation
[1] J. W. Cooley and J. W. Tukey, "An Algorithm for the Machine Computation of the
Complex Fourier Series", Mathematics of Computation, Vol. 19, April 1965, pp.
297-301.
[2] P. Duhamel and M. Vetterli, "Fast Fourier Transforms: A Tutorial Review and a
State of the Art", Signal Processing, Vol. 19, April 1990, pp. 259-299.
[3] FFTW (http://www.fftw.org)
[4] M. Frigo and S. G. Johnson, "FFTW: An Adaptive Software Architecture for the
FFT", Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech, and Signal
Processing, Vol. 3, 1998, pp. 1381-1384.
[5] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Prentice-
Hall, 1989, p. 611.
[6] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Prentice-
Hall, 1989, p. 619.
[7] C. M. Rader, "Discrete Fourier Transforms when the Number of Data Samples Is
Prime", Proceedings of the IEEE, Vol. 56, June 1968, pp. 1107-1108.

Fourierreihen und Fouriertransformation 97
10 Literaturverzeichnis
[8] R. N. Bracewell, The Fourier Transform and its Applications, McGraw-Hill International
Editions, second edition revised, 1986.
[9] G. Demmig, Fourierreihen: Repetitorium mit Beispielen und Aufgaben, Demmig
Verlag KG, 1983.
[10] O. Föllinger, Laplace-, Fourier- und z-Transformation, Hüthig Verlag Heidelberg,
7. überarbeitete und erweiterte Auflage, 2000.
[11] L. Lions, All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask, Vol. 2,
Cambridge University Press, 1998.
[12] W. Preuss, Funktionaltransformationen, Fachbuchverlag Leipzig, 2002. Louis Lions,
All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask, Vol. 2,
Cambridge University Press, 1998.
[13] G. Uszczapowski, Fourier-Transformation / Fourierintegral: Repetitorium mit Beispielen
und Aufgaben, Demmig Verlag KG, 1985.