Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 36 F 2 ( ω) = ( 1− cos ( ω) ) 2 ω ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ = ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 Abbildung 20: Fouriertransformation. Es gilt also Λ ( t) ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 4.2.3 Beispiel (Dirac-Stoss) Es sei der Dirac-Stoss δ gegeben. Gleich wie bei der Laplacetransformation approximieren wir δ durch eine Folge Rechtecksimpulsen f ε (t), d. h. mit der Funktionsfolge vgl. Abbildung 21. f ε (t ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎩ ⎪ 1 , ε 0, 0 ≤ t ≤ ε sonst Abbildung 21: Folge von Rechtecksimpulsen konvergiert zur Diracfunktion.
Fourierreihen und Fouriertransformation 37 Die Fouriertransformation der Folge von Rechtecksimpulsen ist und damit folgt F δ F ε ε 1 − jωt 1 1 − jωt j − jωε ( ω) = ∫ e dt = e = ( e −1) 0 ε ε − jω ε 0 εω − jωε ( ω) = lim F ( ω) = lim ( e −1) = lim j = 1 ε →0 ε ε →0 j εω BH ε →0 − − jωe ω Also ist nicht nur die Laplacetransformierte von δ gleich 1 sondern auch die Fouriertransformierte von δ. Für den zeitlich verschobenen Dirac-Stoss δ ( t − t 0 ) gilt − jωt0 F{ δ ( t t )} = F ( )( ω) = e − . 0 δ t− t = Dies würde auch aus dem Verschiebungssatz folgen. Es gilt also und δ ( t) 1 ( t − ) δ t − j ω t0 0 Für die folgenden Funktionen braucht es einen erheblichen mathematischen Aufwand, um ihre Fourietransformierten zu berechnen so wie wir das oben gemacht haben. Wir brauchen Kenntnisse der komplexen Funktionentheorie sowie der verallgemeinerten Funktionen. Dies würde den Rahmen dieses Skripts sprengen und deshalb werden die Resultate mehr oder weniger begründet einfach angegeben. 4.2.4 Beispiel (Dirac-Kamm) Der Dirac-Kamm oder Sampling oder Replikationsfunktion III(t ), vgl. Abbildung 22. 0 def ∑ ∞ n = −∞ e III(t ) = δ ( t −n) Es wird das Symbol III das shah-Symbol genannt. III ist ein Symbol aus der cyrillischen Schrift und es wird mit 'schah' ausgesprochen. jωε Abbildung 22: Dirac-Kamm. Die Funktion III(t ) hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass ihre Fouriertransformierte F{III(t )} = 2π III(ω)
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