Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 33
+∞
∫
−∞
1
j
( ω) ω to
F e dω
2π
den Wert
+
−
f ( t0
) + f ( t0
)
2
In allen stetigen Punkten t konvergiert das Fourierintegral gegen f.
1. Bemerkung
In der Optik hat die Fouriertransformierte, d. h. die Spektralfunktion eine sehr anschauliche
Bedeutung. Wenn wir uns vorstellen f sei ein heterochromatischer Lichtstrahl, dann
zerlegt die Fouriertransformation gleich wie ein Glasprisma den Strahl in seine spektralen
Komponenten (Brechung, z. B. in Regentropfen, Regenbogen). In der Optik haben die
einzelnen Frequenzen oder Frequenzbereiche die Bedeutung von Farben. Die Fouriertransformation
ergibt also das Farbspektrum eines Lichtstrahls.
Die meisten Signale in der Praxis besitzen Fouriertransformierte, d. h. erfüllen die Voraussetzungen
des obigen Satzes (absolut integrabel, etc.), denn sie sind (mathematisch)
beschränkt und von endlicher Dauer.
Auch für die Fouriertransformierten gibt es Lexika (Sammlungen der gebräuchlichsten
Fouriertransformierten) und auch für die Fouriertransformation gibt es Transformationsregeln
analog zu denjenigen der Laplacetransformation.
Die Fouriertransformation besitzt mathematisch grosse Ähnlichkeit mit der Laplace
Transformation. Sie unterscheidet sich in zweierlei Hinsicht von der Laplacetransformation
und macht sie deshalb mathematisch komplizierter:
1. Die Operatorvariable s bei Fourier ist rein imaginär: s = jω (Laplace s = σ + jω)
2. Das definierende Integral erstreckt sich von –∞ bis +∞ , d. h. es gab kein Einschalten
zum Zeitpunkt t = 0. Oder anders gesagt: Die speziellen Werte bei t = 0
(Einschaltvorgang, d. h. Anfangswerte) haben keinen Einfluss mehr, dass Signal
war schon seit ewigen Zeiten da (wir erhalten die stationäre Lösung einer Differenzialgleichung).
Diese Unterschiede haben zur Folge, dass die Regeln für die Fouriertransformation ähnlich
aber nicht identisch mit denjenigen der Laplacetransformation sind.
Die wichtigsten sind hier zusammengestellt. Es wird dasselbe Korrespondenzsymbol wie
beim Laplacieren: f(t) F(ω), resp. F(ω) f(t) verwendet.
2. Bemerkung
In der Literatur gibt es verschiedene Systeme für die Definition der Fouriertransformation
und zwar je nach Normierungskonstante vor den Integralen. Die obige Definition soll
System 1 heissen (willkürliche Festlegung). Der Vollständigkeit halber sollen die anderen
möglichen Systeme an dieser Stelle erwähnt werden. Jedes System hat seine Vor- und
Nachteile (früher oder später handeln wir uns aber in jedem System einen Faktor 2π ein,
einfach an einer anderen Stelle.) und je nach System unterscheiden sich die Funktionsgleichungen
für die Fouriertransformierten in einem Fourierlexikon durch konstante Faktoren.