Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 86 jtk 2 jtk 3 jtk 4 jtk 5 jtk 6 jtk 7 jtk ( t ) = y = c + c e + c e + c e + c e + c e + c e c e f k k 7 mit den Abkürzungen c 0 = a0 = reell 4 jt c 4 = a4 = reell alternierende Vorzeichen, weil e k = ± 1 1 c5 = c3 = ( a3 + b3 j ) 2 1 c6 = c2 = ( a2 + b2 j ) 2 1 c7 = c1 = ( a1 + b1 j ) 2 Einsetzen der 2N Funktionswerte y i liefert ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten c k der folgenden Gestalt c0 + c1 + c2 + + c2N −1 = y0 jt 2 ( 2 1) 0 1 1 j t1 j N − t1 c + c e + c y 2e + + c2N −1e = 1 jt 2 ( 2 1) 0 1 2 j t2 j N − t2 c + c e + c y 2e + + c2N −1e = 2 … jt2 N −1 j2t2 N −1 j( 2N −1) t2 N −1 c0 + c1e + c2e + + c2N − 1e = y2N −1 π Wenn wir die Stützwerte t i = i , i = 0, ,2N −1 einsetzen, dann bekommen wir mit der N j π 0 1 2 3 4 5 6 + N Abkürzung ω = e (2N te 2N Einheitswurzel weil ω = 1) c0 + c1 + c2 + + c2N −1 = y0 2 2 c + c1ω + c2ω + + c2 −1ω 2 4 4 c + c1ω + c2ω + + c2 −1e … 2N −1 4N −4 c c ω + c ω + + c ( N −1) 0 N = y1 ( N −2) 0 N = y2 ( 2N −1)( 2N −1) 0 + 1 2 2N −1 = y2N −1 Die Koeffizientenmatrix ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 2N −1 ⎜1 ω ω ω F = ⎜ 2 4 4N −2 1 ω ω ω ⎜ ⎜ ⎜ ( )( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N −1 4N −2 2N −1 2N −1 ⎝1 ω ω ω ⎠ ist symmetrisch und wir können zusätzlich zeigen, dass sie orthogonal ist. Sie lässt sich deshalb nach Normieren und (konjugiert komplex) Transponieren einfach invertieren ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 2N −1 ⎜1 ω ω ω F –1 1 = ⎜ 2 4 4N −2 1 ω ω ω 2N ⎜ ⎜ ⎜ ( )( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N −1 4N −2 2N −1 2N −1 ⎝1 ω ω ω ⎠ ω
Fourierreihen und Fouriertransformation 87 mit ω konjugiert komplex zu ω. Weil ω = ω (komplexen) Fourierkoeffizienten c k 2N −1 2N −1 1 −ki 1 = ∑ yiω = ∑ yie 2N 2N i= 0 i= 0 π − j N −1 e = erhalten wir für die diskreten π − jki N , k = 0, , 2N −1 und das interpolierende komplexe trigonometrische Polynom lautet f 2N ∑ − 1 k = 0 jkt ( t) = c k e 1 1 2N mit = ∑ − − jki N ck yie , k = 0, , 2N −1 2N i= 0 π
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