Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 83
α =
0
k
2N
∑ − 1
1
2N
i=
0
2N
1
1
∑ −
f
N i=
0
2N
1
1
∑ −
f
N i=
0
f
( )
t i
( t ) cos ( kt )
α =
k = 1, … , n
k
i
( t ) sin ( kt )
β =
k = 1, … , n
i
Für das Interpolationsproblem setzen wir n = N und β N = 0. Der Koeffizient β N müssen
wir zu 0 machen, weil wir 2N Datenpunkte haben und deshalb auch nur 2N Koeffizienten
bestimmen können. Der Ansatz
g
N
N
i
i
( t) = α
0
+ ∑( α
k
cos( kt) + β
k
sin( kt)
)
k = 1
würde 2N+1 unbekannte Koeffizienten enthalten. Für Interpolation erhalten wir dann das
folgende Gleichungssystem.
⎛2N
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝ 0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
2
⎛
⎜
⎜ k
2N
−1
⎜
0⎞
⎟ ⎜ ∑ f
k = 0
0⎟
⎜
2N
−1
⎟⎛
α0
⎞ ⎜
0 ⎜ ⎟ ⎜ ∑ f
⎟⎜
α k = 0
1 ⎟
0⎟
⎜ 2N
−1
⎜ ⎟
⎟ β = ⎜
1
⎜ ⎟ ∑ f
0
⎟ ⎜ k = 0
⎜ ⎟ 2N
−1
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟⎝α
⎠
⎜ ∑ f
N
0⎟
⎜
k = 0
⎜
2N
⎠ ⎜
⎜ 2N
−1
⎜ ∑ f
⎝ k = 0
N −1
∑
= 0
( t )
( t ) cos( t )
( t ) sin ( t )
( t ) cos( 2t
)
k
( t ) cos( 2t
)
k
k
k
f
k
⎞
( ) ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ tk
cos Ntk
⎠
k
k
k
k
(2N, 2N) (2N, 1) (2N, 1)
Matrix A t A Matrix x Matrix A t y
Die Bestimmung der Koeffizienten ist wiederum sehr einfach (Koeffizientenmatrix ist
diagonal) und liefert die gesuchten Fourierkoeffizienten für die Fourier Interpolation.
Weil β N = 0, entfällt also der letzte Sinusterm und wir erhalten.
Diskrete Fourier Interpolation
Es sei g in [0, 2π] definiert und 2π-periodisch.
g
N
N
∑ − 1
k = 1
2N
∑ − 1
1
f ( t i
)
N i=
0
1 2N
−1
2 −1
1
∑
= ∑
N
f ti
cos Nti
N i=
0
2N
i=
0
( t) = α + α cos( Nt) + ( α cos( kt) + β ( kt)
)
α
0
=
,
2
α
N
=
2
0 N
k
k
sin
i
( ) ( ) ( −1) f ( t )
i