Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 3
T = 2π
/ ω0
hat wie die Funktion f ist ebenfalls verständlich. Die exakte Reproduktion von f würde
theoretisch erst durch eine unendliche Summe, d. h. eine unendliche Reihe erreicht werden.
Diese unendliche Reihe wird die Fourierreihe von f genannt. Sie lautet in diesem Fall
f
( t) 2 u ( t − k) − 1
= ∑ ∞
k =−∞
4 ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜sin(
t)
+ sin(3t)
+ sin(5t)
+ ... ⎟
π ⎝ 3 5 ⎠
4 1
= sin (( 2n
−1)
t)
π 2n
−1
∑ ∞
n=
1
Im allgemeinen Fall, wenn das Signal weder gerade noch ungerade ist, wird die Fourierreihe
Sinus- und Kosinusfunktionen enthalten und die allgemeine Fourierreihe einer solchen
beliebigen periodischen Funktion f mit Periode T = 2π
/ ω0
wird lauten
f
a
0
( t) = + ( a cos( nω
t) + b sin ( nω
t)
)
∑ ∞
2 n = 1
n
Die Koeffizienten a n und b n werden die Fourierkoeffizienten von f genannt. Die Fourierkoeffizienten
bestimmen die Amplitude der Schwingung mit der betreffenden Frequenz
nω 0 . Die Amplituden
A = a + b
n
geben an, mit welcher Stärke die betreffende Frequenz im Signal vorkommt. Wie sie berechnet
werden, wird im nächsten Abschnitt angegeben.
Die Bestimmung der Fourierreihe eines periodischen Signals ermöglicht eine spektrale
Analyse des Signals. Wir sprechen von Spektralanalyse.
2
n
0
2
n
n
0
Die Abhängigkeit A n (n) wird das Amplitudenspektrum des Signals f genannt. Im obigen
Beispiel der Rechteckswelle ergibt sich.
f
( t) 2 u ( t − k) − 1
= ∑ ∞
k = −∞