Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 74
Wenn die Abtastwerte sich auf ein allgemeines Intervall [a , a + T] beziehen, dann muss
im trigonometrischen Polynom noch zusätzlich t durch t – a ersetzt werden
N
( ) ( ) ∑ − 1
α
0
α
N ⎛ 2πN
⎞ ⎛ ⎛ 2πk
⎞ ⎛ 2πk
⎞⎞
f t = + cos⎜
t − a ⎟ + ⎜α
k
cos⎜
( t − a) ⎟ + β
k
sin⎜
( t − a)
⎟⎟
2 2 ⎝ T ⎠ k = 1 ⎝ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎠
5.4.1 Beispiel (Abgetastete Werte in einem beliebigen Intervall)
Das folgende Programm implementiert die Berechnung der α k und β k aus den komplexen
c k für das Intervall [a, a + T] mit a = 0 und Τ = 2π.
% Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten
% aus den komplexen von fft
% abgetastete Werte in einem beliebigen Intervall [a,a+T]
% Beispiel Funktion f(t)=1./(1+t.^2)
% Fillename = dfi4_fft.m
clear
% verschiedene Funktionen zum ausprobieren
%func='exp(t)';
%func='abs(t)/pi'; % Dreiecksfolge
%func='exp(-t.^2)';
%func='exp(-abs(t))';
%func='sin(t)';
func='1./(1+t.^2)';
%func='sin(2*pi*5*t)+sin(2*pi*15*t)+randn(size(t))';
%func='t';
f=inline(func);
N=8; % 2N Werte
n=2*N;
% Defintion des Intervalls, in welchem die obigen
% Funktionsgleichungen gelten
A=0; % Anfangswert des Intervalls
T=2*pi; % Periode des Intervalls
ome=2*pi/T;
% Abtastung an 2N Stellen im Intervall
x=[0:2*N-1].*T/(2*N)+A;
y=f(x);
n=length(y);
% Plotten der abgetasteten Punkte
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor','k'); % plot der Datenpunkte
title(['Periode = ',num2str(T)]);
axis([A-T A+2*T min(y)-1 max(y)+1])
grid on
% Berechnung der Fourierkoeffizienten mit fft
y(1)=0.5*(f(A)+f(A+T));
fy=fft(y);