Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 61
Abbildung 37: An 8 Stellen diskret abgetastetes
Rechtecksignal.
Der folgende Matlab-Code löst dieses Problem:
% Diskrete Fourierinterpolation durch
% Lösen des Gleichungssystems
% Filename = dfi1_Rechteck.m
func='Rechtecksimpulsfolge';
v=0; % eventuelle Verschiebung des 2*pi Intervalls
x=(0:7)*pi/4+v;
n=length(x);
y=[0 2 2 2 0 -2 -2 -2];
M=[ones(size(x')) cos(x') cos(2*x') cos(3*x') cos(4*x')
sin(x') sin(2*x') sin(3*x')];
% Lösen des Gleichungssystems
% -> Fourierkoeffizienten=Spaltenvektor
FK=M\y'
pause
Anschliessend plotten wir die Werte des trigonometrischen Polynoms im Intervall [0, 2π].
Wir erzeugen eine feinere Unterteilung des Intervalls [0, 2π], z. B. mit dem Matlab-
Befehl x=0:0.01:2*pi und wollen in diesem Intervall die y Werte gemäss
4
( x) = α + α cos( k x) + β ( k x)
∑
k = 1
∑
y = g
4 0
sin
k
berechnen. Nehmen wir an, wir hätten (m+1) x- und y- Werte Dann lautet die Berechnungsvorschrift
in Matrixform für die y-Werte:
⎛ y ⎞
⎜ ⎟
⎜ y1
⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎝ y m ⎠
3
k = 1
0 ⎛1
cos x0
cos( 2x0
) cos( Nx0
) sin x0
sin (( N −1)
x0
)
1 cos x cos( 2x
) cos( Nx ) sin x sin (( N −1)
x )
⎜ ⎜ ⎜
⎜
⎝1
1
cos x
m
cos
1
1
( 2x
) ( ) (( − ) ) ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ m
cos Nxm
sin xm
sin N 1 xm
1
k
1
⎛ α
0 ⎞
⎜ ⎟
⎞ ⎜
α1
⎟
⎜ ⎟
⎜ α ⎟
N
⎜ ⎟
⎜ β1
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ β
N −1 ⎠
(m+1, 1) (m+1, 2N) (2N, 1)