Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 37
Die Fouriertransformation der Folge von Rechtecksimpulsen ist
und damit folgt
F
δ
F
ε
ε
1 − jωt
1 1 − jωt
j − jωε
( ω) = ∫ e dt = e = ( e −1)
0
ε
ε − jω
ε
0
εω
− jωε
( ω) = lim F ( ω) = lim ( e −1) = lim j = 1
ε →0
ε
ε →0
j
εω
BH
ε →0
−
− jωe
ω
Also ist nicht nur die Laplacetransformierte von δ gleich 1 sondern auch die Fouriertransformierte
von δ.
Für den zeitlich verschobenen Dirac-Stoss δ ( t − t 0
) gilt
− jωt0
F{ δ ( t t )} = F ( )( ω) = e
− .
0
δ t− t
=
Dies würde auch aus dem Verschiebungssatz folgen.
Es gilt also
und
δ ( t)
1
( t − )
δ t − j ω t0
0
Für die folgenden Funktionen braucht es einen erheblichen mathematischen Aufwand, um
ihre Fourietransformierten zu berechnen so wie wir das oben gemacht haben. Wir brauchen
Kenntnisse der komplexen Funktionentheorie sowie der verallgemeinerten Funktionen.
Dies würde den Rahmen dieses Skripts sprengen und deshalb werden die Resultate
mehr oder weniger begründet einfach angegeben.
4.2.4 Beispiel (Dirac-Kamm)
Der Dirac-Kamm oder Sampling oder Replikationsfunktion III(t ), vgl. Abbildung 22.
0
def
∑ ∞
n = −∞
e
III(t ) = δ ( t −n)
Es wird das Symbol III das shah-Symbol genannt. III ist ein Symbol aus der cyrillischen
Schrift und es wird mit 'schah' ausgesprochen.
jωε
Abbildung 22: Dirac-Kamm.
Die Funktion III(t ) hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass ihre Fouriertransformierte
F{III(t )} = 2π III(ω)