Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 38 ist. Der Faktor 2π kommt von unserer Definition der Fouriertransformierten (1. System). Hätten wir die Fouriertransformierte im 3. System definiert, dann wäre die Fouriertransformierte F{ III(t ) } = III(ν ) Die Fouriertransformation der Folge von Rechtecksimpulsen ist ∑ ∞ n = −∞ F{ III(t ) } = 2 π δ ( ω − n) Abbildung 23: Fouriertransformation des Dirac-Kamms. Die Funktion ∑ ∞ n = −∞ III(t ) = δ ( t −n) ist in vor allem in der Signalverarbeitung sehr nützlich. Wir benutzen sie um abgetastete Signale zu beschreiben und zu verarbeiten. Wenn z. B. f ein (kontinuierliches) Signal ist, dann ist δ (t–t 0 ) f (t ) der abgetastete Wert von f an der Stelle t 0 wie folgende Überlegung zeigt. Stellen wir und wieder δ (t ) als Grenzwert der schon mehrmals verwendeten Impulsfolge vor. Dann ist t0 + ε ∫ t0 + ε δ (t – t 0 ) f(t) = lim f ( t) dt = lim f ( t)dt ε →0 t0 1 ε ε →0 1 ε ∫ t0 Sei nun F eine Stammfunktion von f, d. h. F ' = f (F bedeutet also jetzt im Moment nicht Fouriertransformierte) ( ) ( ) def 1 t0 + ε F t0 + ε − F t0 δ (t – t 0 ) f (t) = lim F( t) = lim = F′ ( t0 ) = f ( t0 ). ε →0 t 0 ε ε →0 ε Wie ist dieses Resultat zu interpretieren? Die Schreibweise δ (t – t 0 ) f (t) = f (t 0 ) ist im klassischen mathematischen Sinn falsch. Denn δ (t – t 0 ) f (t) als Produkt zweier Funktionen ist wieder eine Funktion, aber nicht etwa die konstante Funktion y = f (t 0 ). Die Funktion δ (t – t 0 ) f (t) bedeutet vielmehr diejenige Funktion, welche nur gerade an der Stelle t 0 den Wert f (t 0 ) hat, sonst aber überall identisch gleich 0 ist. Deshalb könnten (sollten) wir auch schreiben δ (t – t 0 ) f (t) = δ (t – t 0 ) f (t 0 ).
Fourierreihen und Fouriertransformation 39 Abbildung 24: Wirkung von δ (t – t 0 ) f (t ) = δ (t – t 0 ) f (t 0 ). Multiplikation mit δ (t – t 0 ), resp. δ (t – n) reproduziert (samplet) den Wert des Signals f an der Stelle t 0 (resp. n). ∑ ∞ n = −∞ Multiplikation von f mit III(t ) = ( t −n) δ bedeutet also III(t ) f (t) δ ( t − n) f ( n) = f ( n) = ∑ ∞ A n = −∞ d. h. die in regelmässigen Abständen abgetastete Funktion f. Abbildung 25: Wirkung von III(t ) f (t ). Auch die Faltung III(t ) * f (t ) von III mit einem Signal f hat eine anschauliche Bedeutung. Die Faltung mit III bewirkt ständige und regelmässige Wiederholung (Replikation) von f und zwar mit der Periode 1. Falls f breiter ist als 1, dann kommt es zu Überlappungen. Abbildung 26: Wirkung von III(t ) * f (t ).
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