Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 7
2 Die reelle Fourierreihe
2.1 Berechnung der Fourierkoeffizienten
Sei f ein beliebiges, periodisches Signal mit der Periodendauer T = 2π
/ ω0
. Gesucht ist
eine Darstellung von f in der Form
a0
+ a cos( nω t)
+ b sin( nω
t)
,
∑ ∞
2 n=
1
f (t ) = ( )
n
d. h. eine Berechnungsvorschrift für die Koeffizienten a n und b n . Ein ähnliches Problem
hatten wir schon bei den Potenzreihen. Die Potenzreihenentwicklung einer Funktion f ist
sehr nützlich, wenn es darum geht, für beliebige (z. B. nicht periodische) Funktionen approximative
Funktionswerte in der Nähe eines Punktes x 0 zu berechnen. Wir können dann
die Funktion in eine Potenzreihe um diesen Punkt entwickeln, d. h.
2
3
( x) = a + a ( x − x ) + a ( x − x ) + a ( x − x ) + = a ( x − x )
f
0
1
0
2
0
Die Berechnung der a n geschah über die Werte der n ten Ableitungen von f
1
f (x) = f (x 0 ) + f ' (x 0 ) (x – x 0 ) + f '' (x 0 ) (x – x 0 ) 2 + ... = 2
∑ ∞ ( n)
⎛ f ( x ⎞
0
)
n
⎟
⎜ ( x − x0
)
,
n=
0 ⎝ n!
⎠
d. h.
( n
f )
( x0
)
an =
n!
Bei unserem jetzigen Problem sind die Potenzfunktionen mit ihrer Eigenschaft, dass
lim f ( x) = ± ∞
x → ±∞
für eine Approximation nicht geeignet, denn wir wollen gute Approximationen für periodische
Funktionen. Es ist besser, als approximierende Funktionen die Sinus- und Kosinusfunktionen
zu nehmen, weil diese schon periodisch sind. Wir sprechen von einer trigonometrischen
Approximation und in diesem Fall können wir nicht einfach Ableiten wie
bei den Potenzreihen, sondern wir müssen uns einen anderen Trick für die Berechnung
von a n und b n einfallen lassen.
Dazu müssen gewisse Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktionen benutzt werden:
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
2π
∫
0
3
0
n
0
0
∑ ∞
n = 0
sin( nt)sin(
mt)
dt = 0
n
0
n
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
für alle n, m ∈ N ist
für alle n ∈ N + ist
2π
∫
0
2π
∫
0
2π
∫
0
cos( nt)cos(
mt)
dt = 0
sin( nt)cos(
mt)
dt = 0
sin
2
2π
( nt)
dt = ∫ cos
0
2
( nt)
dt = π