Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 18
T
⎛ 1
= ⎜
∫
⎝
⎞
.
2
Leistung( f ) k
⎜
f ( t) dt
T ⎟ 0 ⎠
Um zu untersuchen, wie sich die Leistung auf die verschiedenen Harmonischen verteilt
(prozentuale Anteile), kann die Proportionalitätskonstante gleich 1 gesetzt und die folgende
Formel benutzt werden.
Formel von Bessel-Parseval
1
T
T
2
2 0
n n 0
Leistung( f ) = P ( f ) = f ( t) dt = ∑ cn
= + ∑ = + ∑
∫
0
n = ∞
n = −∞
2
a
4
∞
n = 1
a
2
+ b
2
2
2
a
4
∞
n = 1
P
n
P n = Leistung der n ten Harmonischen =
a
2
n
+ b
2
2
n
2
An
=
2
3.2.1 Beispiel (Rechtecksimpulsfolge)
Es sei die Rechtecksimpulsfolge f gegeben, vgl. Abbildung 8.
Abbildung 8: Rechtecksimpulsfolge.
Damit berechnen wir die komplexen Fourierkoeffizienten
c
0
T
1 a
= ∫ f ( t)
dt =
T 2
und
T
T ⎛ 2π
T ⎞
⎜
− jn
2
− jnωt
2
T 2 ⎟
1 − jnωt
a e
a
=
⎜
e 1
⎟
a
c
n ∫ a e dt =
= −
− = −
T
T − jnω
T ⎜ 2π
2π
⎟ 2πjn
0
0
jn jn
⎝ T T ⎠
mit n ∈Z,
n≠0
Daraus folgt die komplexe Darstellung der Fourierreihe:
mit
oder als reelle Darstellung
c
n
0
a jnω0t
f (t) = + ( c n
⋅ e )
aj
=
2π
n
2
∑ ∞
n=
−∞
− jπ
n
( e − 1) , n ∈ Z , n ≠ 0
− jπn
aj − jπn
( e − 1) = ( e − 1)
2πn