Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 71
Zusammenfasung
Wenn die α k und β k gemäss obigen Beziehungen aus den komplexen c k berechnet werden,
dann interpoliert das trigonometrische Polynom
N 1
α
0
α
N
⎛ ⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞⎞
f ( t) = + cos( t) + ∑ − π
π
π ⎜α
j
cos⎜
t ⎟ + β
j
sin⎜
t ⎟⎟,
t ∈[ 0, 2 N ]
2 2
k = 1 ⎝ ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠⎠
die Datenwerte (y- Werte) an den Stützwerten t k = k mit k = 0, …, 2N – 1, d. h. also bei
den t-Werten 0, 1, 2, …, 2N – 1 und liefert eine Funktion mit Periode 2N.
Wenn die Datenwerte sich auf das Intervall [0, 2π] beziehen und t k die Stützwerte
π π π
π
0, , 2 ,3 , ,( 2N
−1
)
N N N
N
sind, dann wird ω 0 = 1 und das interpolierende trigonometrische Polynom lautet:
N 1
α
0
α
( ) = + cos( ) + ∑ −
N
f t
N t ( α
j
cos( k t) + β
j
sin( k t)
),
t ∈[ 0, 2π
]
2 2
k = 1
5.3.5 Beispiel (Reelle vs komplexe Matlab-Fourierkoeffizienten)
Das folgende Programm implementiert die Berechnung der α k und β k aus den komplexen
c k und zeichnet das interpolierende Polynom für das Intervall [0, 2N] sowie für das Intervall
[0, 2π].
% Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten
% aus den komplexen von fft
% Fillename = dfi3_Dreieck.m
clear
%y=[4 1 2 3 4 5 6 7]; % y-Werte des Signals
y=[0 1 2 3 4 3 2 1];
n=length(y);
% Plotten der Datenpunkte
subplot(3,1,1)
plot([0:7],y,'o','MarkerFaceColor','k');% plot der Datenpunkte
title(['Periode = ',num2str(n)]);
axis([-2 n+2 -1 n/2+1])
grid on
hold on
% Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten mit fft
fy=fft(y);
% Berechnung der reellen Foruriekoeffiziente aus den komplexen
a0=fy(1)/n
for i=1:n/2-1
a(i)=2/n*real(fy(i+1)); % Bezeichnungen Literatur Index
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