Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 68
und die inverse (reelle) DFT besteht aus den Transformationsformeln 3 :
N 1
α
0
α
N
f
k
= f ( tk
) = + cos( Nt
k
) + ( α
j
cos( jtk
) + β
j
sin( jtk
)), k = 0, …, 2N – 1
2 2
∑ −
j=
1
5.3.2 Komplexe Schreibweise der DFT (FFT)
Aufgrund der Euler'schen Formel
e jt = cos t + j sin t
können die obigen Transformationsformeln komplex geschrieben werden. Im Jahre 1965
haben J. W. Cooley und J. W. Tukey aus dieser komplexen Darstellung die so genannte
FFT (Fast Fourier Transform) entwickelt, vgl. [1].
Wenn mit dieser Euler'schen Beziehung die Kosinus- und Sinusausdrücke vom letzten
Abschnitt durch die komplexen Grössen e jt und e -jt ausgedrückt werden, dann kann gezeigt
werden, dass sich f folgendermassen darstellen lässt:
mit
c
k
f
1
1
2N
= ∑ −
yie
2N
i=
0
Der Beweis ist im Kapitel 7 angegeben.
2N
∑ − 1
k=
0
jkt
( t) = c k
e
π
− jki
N
, k = 0, ,2N
−1
Zusammenfassung
Unter der (komplexen) DFT verstehen wir die Transformation, welche die 2N Datenpunk-
y y , y (Datenvektor) mittels den Gleichungen
te ( )
0
,
1
,
2N
−1
1
1
2N
= ∑ − − jki
N
ck
yie
, k = 0, ,
2N
−1
2N
i=
0
c c , c transformiert.
in den Vektor ( )
0
,
1
,
2N
−1
Die inverse DFT transformiert den Vektor ( c , c )
y
k
2N
1
= ∑ −
c e
i=
0
i
π
jki
N
π
c mittels den Gleichungen
0
,
1
,
2N
−1
wieder zurück auf den Datenvektor ( y , y )
,
0
,
1
,
2N
−1
k = 0, ,2N
−1
y .
3 Wir haben die beiden Koeffizienten α 0 und α N geschrieben als
und
α 0
2
α
N .
2
Das hat den Vorteil, dass wir bei den Formeln der DFT keine separaten Formeln für α 0 und α N
haben.