Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 34
1. System
f
F
( t) F( ω)
1
= 2 π
+∞
e
jωt
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
∫
−∞
+∞
∫
−∞
dω
2. System
f
F
3. System
f
F
1
( t) = F( ω)
2π
1
dω
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
+∞
2π
+∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞
( t) = F( ν )
∫
−∞
+∞
e
2πjνt
e
−2πjνt
( ν ) = f ( t) e dt
∫
−∞
jωt
dν
1
mit f ω
ν = =
2π
= T
In diesem Skript verwende ich das oben verwendete 1. System.
(Frequenz)
4.2.1 Beispiel (Rechtecksfenster)
Es sei die Fenster-Funktion
⎧ 1
⎪1,
t <
⎞ ⎞
( ) ⎜
⎛ 1
⎜
⎛ 1
Π t =
2
⎨
= u t + ⎟ − u t − ⎟
⎪ 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0, t >
⎩ 2
gegeben, vgl. Abbildung 17. Dabei bezeichnet u die Heaviside'sche Sprungfunktion.
Abbildung 17: Rechtecksfenster.
Die Fouriertransformation ist
F
+∞
( ω) ∫ f ( t)
1
2
− jωt
= e dt = ∫1e
−∞
1
−
2
− jωt
dt
=
− jωt
e
−
jω
1
2
1
−
2
=
⎛
− ⎜
ω
e
j ⎝
ω ω
1 − j j
2 2
− e
⎞
⎟
=
⎠
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
2sin⎜
⎟ sin⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
=
ω ω
2