Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 54 Abbildung 33: Leistungs(dichte)spektrum. Die Gesamtleistung beträgt Gesamtleis tung ∞ ∞ ∞ 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟ dω 2 2 2π 2π −∞ −∞ −∞⎝ α + ω ⎠ 2 ( f ) ∫ f ( t) dt = ∫ F( ω) dω = ∫ ∞ 1 1 FS 1 ⎛ = ∫ dω = ⎜ π 0 1 = . 3 4α Die Leistung im Frequenzband [–α, α] beträgt Leistung Damit folgt 1 2π α ω 2 2 2 ⎜ 2 2 2 ( α + ω ) π ⎝ 2α ( α + ω ) 2 ( f ) [ −α , α ] = ∫ F( ω) dω = ∫ −α Leistung im Frequenzband Gesamtleistung Bemerkung Da das betrachtete Signal 1 2π α −α ⎛ 1 ⎟ ⎞ ⎜ 2 2 ⎝α + ω ⎠ 1 ⎛ ω 1 ⎛ ω ⎞⎞ = arctan 2 2 2 3 π ⎜ + ⎜ ⎟ 2α ( α ω ) 2α α ⎟ ⎝ + ⎝ ⎠⎠ 1 ⎞ ⎜ ⎛ π = 1 + 3 ⎟ 4 ⎝ 2 . πα ⎠ [ − α, α ] f ( t) = ⎧t e = ⎨ ⎩0, −αt 2 dω α 1 ⎛ π ⎞ 1 3 ⎜ + ⎟ 4πα ⎝ 2 ⎠ = 1 3 4α , t ≥0 t < 0 0 1 + 3 2α 2 ⎛ ω ⎞⎞ arctan⎜ ⎟ ⎟ ⎝ α ⎠⎠ 2 + π = 0.818 ~82% 2π mit α > 0 für t < 0 verschwindet, könnten wir die Fouriertransformierte in diesem Fall auch dem Laplace-Lexikon entnehmen und s durch jω ersetzen, t e und a durch jω ersetzen, dann folgt − αt F ( s) 1 ( ) 2 = s +α ∞ 0
Fourierreihen und Fouriertransformation 55 ( ω) = 1 = 2 2 α −ω 2αω F 2 2 2 2 2 2 2 ( jω + α ) ( α + ω ) ( α + ω ) − j
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Fourierreihen und Fouriertransforma
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