Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 86
jtk
2 jtk
3 jtk
4 jtk
5 jtk
6 jtk
7 jtk
( t ) = y = c + c e + c e + c e + c e + c e + c e c e
f
k k
7
mit den Abkürzungen
c
0
= a0
= reell
4 jt
c
4
= a4
= reell alternierende Vorzeichen, weil e k
= ± 1
1
c5
= c3
= ( a3
+ b3
j )
2
1
c6
= c2
= ( a2
+ b2
j )
2
1
c7
= c1
= ( a1
+ b1
j )
2
Einsetzen der 2N Funktionswerte y i liefert ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten
c k der folgenden Gestalt
c0 + c1
+ c2
+ + c2N −1
= y0
jt 2
( 2 1)
0 1
1 j t1
j N − t1
c + c e + c
y
2e
+ + c2N
−1e
=
1
jt
2
( 2 1)
0 1
2 j t2
j N − t2
c + c e + c
y
2e
+ + c2N
−1e
=
2
…
jt2
N −1
j2t2
N −1
j( 2N
−1)
t2
N −1
c0
+ c1e
+ c2e
+ + c2N
− 1e
= y2N
−1
π
Wenn wir die Stützwerte t i
= i , i = 0, ,2N
−1
einsetzen, dann bekommen wir mit der
N
j π
0 1 2
3
4
5
6
+
N
Abkürzung ω = e (2N te 2N
Einheitswurzel weil ω = 1)
c0 + c1
+ c2
+ + c2N −1
= y0
2
2
c + c1ω + c2ω
+ + c2
−1ω
2 4
4
c + c1ω
+ c2ω
+ +
c2
−1e
…
2N
−1
4N
−4
c c ω + c ω + + c
( N −1)
0 N
= y1
( N −2)
0 N
= y2
( 2N
−1)( 2N
−1)
0
+
1
2
2N
−1
= y2N
−1
Die Koeffizientenmatrix
⎛1
1 1 1 ⎞
⎜
2
2N
−1
⎜1
ω ω ω
F = ⎜ 2
4
4N
−2
1 ω ω ω
⎜
⎜
⎜
( )( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
4N
−2
2N
−1
2N
−1
⎝1
ω ω ω ⎠
ist symmetrisch und wir können zusätzlich zeigen, dass sie orthogonal ist. Sie lässt sich
deshalb nach Normieren und (konjugiert komplex) Transponieren einfach invertieren
⎛1
1 1 1 ⎞
⎜
2
2N
−1
⎜1
ω ω ω
F –1 1
= ⎜ 2
4
4N
−2
1 ω ω ω
2N
⎜
⎜
⎜
( )( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
4N
−2
2N
−1
2N
−1
⎝1
ω ω ω ⎠
ω