Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 51
Arg
( F ( ω)
) =∠F( ω)
⎧π
⎪
,
2
= ⎨
⎪ π
− ,
⎩ 2
ω > 0
ω < 0
Abbildung 29: Phasen(dichte)spektrum.
4.5.2 Beispiel (Hammerschlag)
Es sei die Funktion
f
( t) = u( t)
t e
−αt
=
⎧
⎨
⎩
t e
0,
−αt
, t ≥0
t < 0
mit α > 0 gegeben, vgl. Abbildung 30. Dabei bezeichnet u die Heaviside'sche
Sprungfunktion.
Abbildung 30: Hammerschlag.
1. Integraldarstellung in reeller Form
Wir setzen die Integrale
mit
an. Dann berechnen wir
f
+∞
∫
0
( t) = ( a( ω) cos ( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
a
b
1
π
1
π
+∞
( ω) = f ( t) cos( ω t)
∫
−∞
+∞
dt
( ω) = f ( t) sin( ω t)dt
∫
−∞