Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation viii
Fourierreihen und Fouriertransformation 1 1 Einführung Die Theorie der Fourierreihen erlaubt es, ein periodisches Signal (Funktion) in eine unendliche Summe (Reihe) von harmonischen Schwingungen zu zerlegen. Unter einer harmonischen Schwingung ist eine Funktion/Signal mit einer Funktionsgleichung der Form f ( t) = Acos ( ω t) oder f ( t) = B sin ( ω t) oder f ( t) = Acos ( ω t) + B cos ( ω t) = C cos ( ω t + ϕ) d. h. phasenverschobene Sinus- oder Kosinusfunktionen zu verstehen, aber nicht f ( t) = Acos ( ω t) + B cos ( 3ω t) . Die harmonischen Schwingungen sind bemerkenswerte Funktionen. Sie haben keine Sprünge, Ecken oder Kanten. Wir können sie ableiten und integrieren so oft wir wollen ohne eckig oder kantig zu werden. Dabei reproduzieren sie sich ständig, d. h. sie bleiben Sinus- oder Kosinusfunktionen. In der Physik und Elektrotechnik begegnen wir oft periodischen Funktionen, allerdings nicht unbedingt Sinus- oder Kosinusfunktionen sondern vielleicht Signalen wie in Abbildung 2. Abbildung 2: Periodische Signale. In Abbildung 3 ist das erste Signal von Abbildung 2 gezeichnet zusammen mit immer besseren Approximationen durch Summen von harmonischen Schwingungen. Der Einfachheit halber haben wir die Periode 2π gewählt. Die Funktionsgleichungen der Approximationen lauten: 4 1. Approximation: f1( t) = sin ( t) π 4 4 4 2. Approximation: f 2 ( t) = f1( t) + sin ( 3t ) = sin ( t) + sin ( 3t ) 3π π 3π 4 4 4 4 3. Approximation: f3( t) = f 2 ( t) + sin ( 5t ) = sin ( t) + sin ( 3t ) + sin ( 5t ) 5π π 3π 5π
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