Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 16
c * 1
n = (an + jb n ) = c –n
2
vereinbart werden, dann folgt für
c
n
⎛
= ⎜
2
⎝
1 T
T
T
2
2
1
∫ f
0
T
T
∫
0
T
∫
ω
0 0
0
− jn
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
0t
t cos nω
t dt − j f t sin nω
t dt = e f ( t )
Und wir gelangen zur komplexen Darstellung der Fourierreihe.
Zusammenfassung des Resultats
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe
f (t ) =
und die c n berechnen sich gemäss
a
∞
∞
0 jnω0t
* − jnω0t
+ ∑c
n
⋅ e + ∑c
n
⋅ e
2 n=
1
n=
1
c
n
1
=
T
T
∫
0
f
− jnω
t
( t) e dt,
n∈Z.
⎞
⎟
⎠
= ∑ ∞
−∞
n=
⋅ e
jnω0t
c
n
dt
Bemerkungen
• Für die harmonischen Funktionen sind fast alle Fourierkoeffizienten gleich null.
Die komplexen Fourierreihen von harmonischen Funktionen bestehen aus zwei
Gliedern:
1 jωt
− jωt
cos ω t = e + e ,
2
und
f (t ) = ( ) ( )
1 jωt
− jωt
f (t) = ( ω t) = − j ( e −e
)
sin
2
,
cos ω t + sin ω t
1
jωt
1
− jωt
= ( 1− j) e + ( 1+
j) e
2
2
jωt
= c e c
− jωt
e
f (t ) = ( ) ( )
=
c
1
1
e
+
−1
jωt
− jωt
+ c
* 1e
f (t) = Acos ( ω t) + Bsin
( ω t)
1
A−
jB e
2
jωt
= c e c e
jωt
− jωt
= ( ) ( )
=
=
c
c
+
− jωt
+ * 1
1
jωt
− jωt
1
e + c
−1e
jωt
− jωt
e + c
* 1 1e
.
1
2
A+
jB e
• Die Beziehungen zwischen den reellen und komplexen Fourierkoeffizienten ergeben
sich allgemein zu.