Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 48
4.5 Amplituden- und Leistungsspektrum sowie Energie eines Signals
Die Fouriertransformierte eines Signals f ist im Allgemeinen eine komplexwertige Funktion.
Die Funktion F kann also entweder als
F ω = π a ω − jπ
b ω
( ) ( ) ( )
oder in der exponentiellen komplexen Form
F ω = A ω e
geschrieben werden.
Wir definiere das Amplituden(dichte)spektrum
A ω = F ω
j ( ω )
( ) ( ) ϕ
( ) ( )
das Phasen(dichte)spektrum
ϕ( ω) = Arg( F( ω)
) = ∠F( ω)
und das Leistungs(dichte)spektrum
1
P ( ω) = F( ω) 2
2π
Um Gesamtenergien und Leistungen zu berechnen ist der folgende Satz sehr wichtig (gilt
für Signale endlicher Energie, d. h.
Satz von Parseval
∞
∫
−∞
f
∞
∫
−∞
f
2
( t) dt < ∞
2
( t) dt F( ω)
∞
1
2
= ∫ dω
2π
−∞
.
4.5.1 Beispiel (Ungerade Rechtecksschwingung)
Es sei die Funktion
f ( t) = A( u( t + t0 ) − 2u( t) + u( t −t 0
))
Mit der Amplitude A gegeben, vgl. Abbildung 27. Dabei bezeichnet u die Heaviside'sche
Sprungfunktion.
Abbildung 27: Ungerade Rechtecksschwingung
mit Amplitue A.