Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 13
Abbildung 5: Die periodische Funktion f.
Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, d. h. ihre Fourierreihe wird Sinus- und
Kosinusterme enthalten. Wir berechnen den Mittelwert der Funktion über eine Periode
T
a0
1
3
= f t dt
T
∫ ( ) =
2
4
und
a n =
T
∫
0
2
f ( t)cos(
nω0 t)
dt
T 0
und
=
b n =
⎛
2 ⎜ 2
⎜
T ⎜ T
⎝
1
( nπ
)
T
2
∫
0
t cos( nω
= ( cos( nπ
) 1)
T
∫
2
−
2
f ( t)sin(
nω0 t)
dt
T 0
T
0
t)
dt +∫ cos( nω0t)
T
2
⎞
⎟
dt ⎟
⎟
⎠
T
⎛
⎞
⎜ 2
T
2 2
⎟
= ⎜ ∫t
sin( nω
0
t)
dt +∫sin(
nω0t)
dt ⎟
T ⎜ T
0
T
⎟
⎝
2 ⎠
1
= − .
nπ
Damit folgt
3 2 ⎛ 1
1
⎞ 1 ⎛ 1
⎞
f(t) = − ⎜cos(
ω0t)
+ cos(3ω
0t)
+ cos(5ω
0t)
+ ...
2 2
2
⎟ − ⎜sin(
ω0t)
+ sin(2ω
0t)
+ ... ⎟
4 π ⎝ 3
5
⎠ π ⎝ 2
⎠
oder etwas vereinfacht geschrieben
∞
∞
3 2 1
1 1
f ( t)
= − ∑ cos( ( 2n−1
) ω0t) − ( )
2 2
( )
∑ sin nω0t
4 π n = 1 2n−1
π n = 1 n
Das Ampitudenspektrum von f wird wie folgt berechnet.
Der so genannte Gleichstromanteil ist
0 3
A
0
= a =
2 4
und die restlichen Amplituden sind