Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation
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Inhaltsverzeichnis
Liebe Studierende ........................................................................................................................ i
Inhaltsverzeichnis ...................................................................................................................... iii
Jean-Baptiste-Joseph Fourier ...................................................................................................... v
1 Einführung ......................................................................................................................... 1
2 Die reelle Fourierreihe ....................................................................................................... 7
2.1 Berechnung der Fourierkoeffizienten .......................................................................... 7
2.1.1 Beispiel (Fourierreihe)........................................................................................ 12
3 Die komplexe Darstellung der Fourierreihe .................................................................... 15
3.1 Fourierreihe ................................................................................................................ 15
3.2 Energie oder Leistung eines Signals .......................................................................... 17
3.2.1 Beispiel (Rechtecksimpulsfolge)........................................................................ 18
3.3 Lösen von partiellen Differenzialgleichungen ........................................................... 20
4 Von der Fourierreihe zur Fouriertransformation ............................................................. 27
4.1 Grenzübergang an einem konkreten Beispiel ............................................................ 27
4.2 Der Integralsatz von Fourier (komplexe und reelle Darstellung) .............................. 30
4.2.1 Beispiel (Rechtecksfenster) ................................................................................ 34
4.2.2 Beispiel (Dreiecksfunktion)................................................................................ 35
4.2.3 Beispiel (Dirac-Stoss)......................................................................................... 36
4.2.4 Beispiel (Dirac-Kamm) ...................................................................................... 37
4.2.5 Beispiel (Konstante Funktion) ............................................................................ 40
4.2.6 Beispiel (Heaviside'sche Sprungfunktion) ......................................................... 40
4.2.7 Beispiel (Sinus- und Kosinusfunktionen) ........................................................... 40
4.3 Eigenschaften der Fouriertransformation (Sätze und Regeln) ................................... 43
4.4 Korrespondenztabelle zur Fouriertransformation ...................................................... 44
4.5 Amplituden- und Leistungsspektrum sowie Energie eines Signals ........................... 48
4.5.1 Beispiel (Ungerade Rechtecksschwingung) ....................................................... 48
4.5.2 Beispiel (Hammerschlag) ................................................................................... 51
5 Die diskrete Fouriertransformation (DFT) ...................................................................... 57
5.1 Einführung ................................................................................................................. 57
5.2 Berechnung der diskreten Fourierkoeffizienten......................................................... 59
5.2.1 Beispiel (Interpolierendes Fourierpolynom) ...................................................... 60
5.2.2 Beispiel (Random Signal interpolieren) ............................................................. 63
5.2.3 Explizite Lösung des Gleichungssystems - Fourierkoeffizienten ...................... 64
5.3 Die diskrete Fouriertransformation (DFT und FFT) .................................................. 67
5.3.1 Reelle Schreibweise der DFT ............................................................................. 67
5.3.2 Komplexe Schreibweise der DFT (FFT)............................................................ 68
5.3.3 Zusätzliche Bemerkungen .................................................................................. 69
5.3.4 Matlab-Befehle ................................................................................................... 69
5.3.5 Beispiel (Reelle vs komplexe Matlab-Fourierkoeffizienten) ............................. 71
5.4 Abtastwerte in einem beliebigen Intervall [a, a + T] ................................................. 73