Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 9
Funktionen oder Funktionenmengen gesprochen werden oder lineare Abhängigkeit und
Unabhängigkeit von Funktionen können definiert werden oder die Projektion einer Funktion
auf einen Funktionenunterraum kann definiert werden. Orthogonal bedeutet, dass das
Skalarprodukt gleich null ist. Zwei Funktionen sind dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt,
d. h. wenn
2π
f , g = ∫ f ( t)
g(
t)
dt = 0.
0
In dieser Terminologie bilden also die Funktionen sin(m t ) und cos(n t ) ein so genanntes
orthogonales Funktionensystem.
Doch jetzt zurück zu unserem eigentlichen Problem, die Koeffizienten a n und b n in der
Darstellung
a0
f t = + a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t)
zu berechnen.
( ) ( )
∑ ∞
2 n=
1
n
Idee
Wir multiplizieren links und rechts mit einem cleveren Term und integrieren anschliessend
über eine Periode T. Die Berechnung von b 15 ergibt sich z. B. aus:
0
n
0
1. Multiplikation mit sin(15ω 0 t) links und rechts.
a0
f(t) sin(15ω 0 t) = sin(15ω0 t) + 2
∑ ∞ a
=1
n
n
cos( nω
0
t)sin(15ω
0t)
+ ∑ ∞ bn
sin( nω
t)sin(15ω
0t
n=1
2. Integration links und rechts über eine Periode ergibt
T
T
a0
∫ f ( t)sin(15ω 0
t)
dt = sin(15
0
)
2
∫ ω t dt
0
0
+ ∑ an∫
= 0
0
)
∞ ⎛ T ⎛
⎞
⎟ ⎟ ⎞
⎜ ⎜cos(
nω
⎟
0
t)sin(15ω
0t)
dt
⎜ ⎜
⎟
n=
1 0
⎝ ⎝
= 0 ⎠ ⎠
∞ T
⎛
⎞
+ ∑⎜bn
n t t dt ⎟
∫sin(
ω
0
)sin(15ω
0
)
n=
1
⎝
0
⎠
T
2
= b15 ∫
sin (15ω0t)
dt
+
0
∞ T
⎛
⎞
∑⎜bn
n t t dt ⎟
∫sin(
ω0
)sin(15ω
0
)
n=
1
⎝
0
⎠
T
2
= b15 ∫
sin (15ω0t)
dt
0