Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 31
2π
T = .
ω0
Dann lautet die komplexe Fourierreihe von f
mit den Fourierkoeffizienten
c
n
=
T
f(t) = ∑ ∞
n=
−∞
∫
T
−
2
( t)
⋅e
jnω0t
c
n
T
2
1 − jnω0t
f
e
dt,
n∈Z
Beim obigen Integral für c n ist es mathematisch sauberer, als Integrationsvariable x anstatt
t zu verwenden, denn wir haben bei f die unabhängige Variable t und bei c n ist
t Integrationsvariable. Weil wir c n in der Formel für f einsetzen müssen, kann dies zu
Verwechslungen führen.
Wenn die c n in der Fourierreihe von f eingesetzt werden, dann erhalten wir die folgende
Darstellung für f
T
⎛ 2π
⎞
π
⎛
⎞ ⎜ ⎟
T = ⎛
⎞
∞
∞
⎜ 2
⎟ ⎝ ω ⎠ ∞ ⎜ ω
0
0
⎟
jnω
t 1
0
− jnω0x
jnω
t ω
0
0
− jnω0x
jnω0t
f ( t) = ∑c
⋅ = ∑ ⎜ ∫ ( ) ⎟ ⋅ = ∑ ⎜
∫ ( ) ⎟
n
e
f x e dx e
f x e dx ⋅ e
n=−∞
n=−∞⎜
T T
⎟
n=−∞
2π
−
⎜ π
−
⎟
⎝ 2
⎠
⎝ ω0
⎠
also
π
⎛
∞ ω
1
f ∑
2π
∫
n=−∞
π
⎜ ⎜⎜⎜ −
⎝ ω0
Betrachten wir zunächst den Ausdruck in Klammern
0
− jnω0x
jnω0t
( t) = f ( x) e dx ⋅ e ω0
π
ω
0
∫
π
−
ω0
f
( x)
e
− jn ω0x
und machen den Grenzübergang T → ∞ . Wenn T → ∞ dann ist das gleichbedeutend mit
ω 0 → 0, d. h., dass ω 0 die Bedeutung von dω hat (Abstand zwischen den Spektrallinien z.
B. in der Abbildung 14). Wir ersetzen deshalb ω 0 durch dω und nω 0 durch ω. Gleichzeitig
werden die Integrationsgrenzen zu –∞ und +∞:
π
ω
0
∫
π
−
ω0
f
− jnω0
x
− jωx
( x) e dx f ( x) e dx = F( ω) = f ( t)
Wir haben wieder t anstatt x geschrieben.
Als Zwischenstand unserer Umformung haben wir
dx
∞
∞
− jωt
= ∫
∫ e dt
−∞
−∞
⎟ ⎟ ⎞
⎟
⎠