Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 58
In der Signalverarbeitung möchten wir das Signal exakt an regelmässigen Zeitpunkten
t k
= k ⋅ ∆t
reproduzieren. Wenn wir das Signal exakt an den N Stellen
0,
∆t,
2∆t,
3∆t,
, ( N −1) ∆t
mit trigonometrischen Funktionen reproduzieren möchten, dann müssen wir die Fourierkoeffizienten
anders berechnen (an eventuellen Sprungstellen wird der Mittelwert aus
links- und rechtsseitigem Grenzwert reproduziert). Abbildung 35 zeigt die Lösung dieses
Problems indem mit Hilfe der Diskreten Fouriertransformation (DFT) das trigonometrische
Polynom berechnet wurde.
Abbildung 35: Fourierinterpolation von f (t ) = t ist
h(t ) = π− 1.8961sin(t) – 0.7854sin(2t) – 0.3253sin(3t)
Im Vergleich dazu in Abbildung 36 nochmals die klassische Fourierreihe gezeichnet zusammen
mit den Abtastpunkten.
Abbildung 36: Fourierreihe von f (t ) = t ist
g(t ) = π − 2sin(t) – sin(2t) – 0.6667sin(3t) – 0.5sin(4t)
Die obere Kurve reproduziert exakt die 8 Punkte in regelmässigen Abständen
2π
∆t =
8
der Funktion f (t) = t. Wegen der Sprünge bei t = 2πk wird der Wert an der Sprungstelle
durch den Mittelwert zwischen Anfangs und Endwert der Funktion im Periodenintervall