Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 21
werden. Der Separationsansatz bedeutet, dass angenommen wird, dass u(t, x) als Produkt
einer reinen Funktion von t und einer reinen Funktion von x dargestellt werden kann
(vergleiche die analoge Unterscheidung zwischen separierbaren und nicht separierbaren
Differenzialgleichungen 1. Ordnung). Mit Hilfe dieser Annahme kann die partielle Differenzialgleichung
in zwei gewöhnliche Differenzialgleichungen umgewandelt werden und
zwar durch folgende Überlegung.
1. Allgemeine Lösungsstruktur
u t , x = g t h x . Daraus folgt natürlich, dass
Es sei also ( ) ( ) ( )
und
sowie
∂ u =
dt
2
∂ u
2
dt
∂ u =
dx
dg
dt
2
d g
=
2
dt
h( x)
h( x)
dh
g( t) dx
und
2
2
∂ u d h
g( t) 2 =
2
dx dx
Wenn dieser Produktansatz in die partielle Differenzialgleichung eingesetzt wird,
dann folgt
2
2
d g
2 d h
h( x) = a g( t) ,
2
2
dt
dx
d. h.
g ( t)
h′
( x)
=
g t h x
also
( t)
( t)
( )
g h′
= a
2
g h
Auf der linken Seite steht eine reine Funktion von t und auf der rechten Seite eine
reine Funktion von x. Gleichheit zweier solcher Funktionen für alle Zeiten t und
allen x-Werten im Intervall [0, b] ist nur möglich, wenn
g
( t)
2 h′′
( x)
= a = konstant = c
g( t)
h( x)
Daraus folgen zwei gewöhnliche Differenzialgleichungen für die Funktionen g,
resp. h
und
g
g
( t)
( t)
( )
( x)
( x)
2
=c = − λ