Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 22
h
h
2
( x)
c λ
= = −
2 2
( x) a a
aus physikalischen Gründen muss die Konstante c negativ sein und es wird deshalb
oft
2
− λ
anstatt c geschrieben.
Mit diesen Bezeichnungen ergeben sich die beiden Differenzialgleichungen
g
( t) + λ
2 g( t) = 0
und
2
h
λ
( x) + h( x) = 0
2
a
mit den Lösungen
g ( t) = Acos ( λt) + Bsin
( λt)
und
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
h( x) = C cos ⎜ x⎟ + Dsin
⎜ x⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
Daraus folgt
u
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞⎞
( t , x ) = ( Acos( λt) + B sin ( λt)
) ⎜ C cos x Dsin
x ⎟
⎠
Über λ wissen wir vorläufig noch nichts.
⎛
⎝
⎜
⎝ a
⎟ +
⎠
⎜
⎝ a
⎟
⎠
2. Erfüllung der Randbedingungen
Die Saite ist fest eingespannt, d. h. für alle Zeiten t muss
u ( t , 0 ) = u ( t , b ) = 0
gelten. Dies entspricht zwei Randbedingungen.
Links u ( t , 0 ) = 0
Weil u ( t , x ) = g ( t) h( x ) muss ( 0 ) = 0
h( 0 ) = C cos( 0) + Dsin
( 0) = C = 0
und damit ist die Lösung
ein reiner Sinus.
h
h gelten, also folgt
⎛ λ
⎜
⎝ a
⎞
( x) = Dsin
x⎟ ⎠
Rechts u ( t , b ) = 0
Wiederum weil u ( t , x ) = g ( t) h( x ) muss h( b) = 0
gelten, also folgt