Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 52 a +∞ 1 1 = π ∫ π ∫ −αt ( ω) f ( t) cos( ω t) dt = t e cos( ω t) b −∞ +∞ −αt ( ω) f ( t) sin( ω t) dt = t e sin( ω t) +∞ 1 1 = π ∫ π ∫ −∞ 0 +∞ 0 dt dt = = sehr mühsame Rechnung sehr mühsame Rechnung 1 = π 1 = π 2 2 α −ω 2 2 ( α + ω ) 2 2αω 2 2 ( α + ω ) 2 Bei diesem Signal wird klar, warum die komplexe Rechnung (siehe gleich nachher) sehr viel zeitsparender als die soeben ausgeführte reelle Rechnung mit den mühsamen Integralen ist. f +∞ ∫ 0 ( t) = ( a( ω) cos( ω t) + b( ω) sin( ω t) ) dω 1 + π +∞ ∫ 0 ⎛ 2 2 ⎜ α −ω ⎝ 2 2 ( α + ω ) 2 cos ( ω t) + 2αω 2 2 ( α + ω ) 2 sin ⎞ ⎟ ⎠ ( ω t) ⎟ dω und F ( ω) = π a( ω) − jπ b( ω) = 2 2 α −ω − 2αω 2 2 2 2 2 ( α + ω ) ( α + ω ) 2 j. 2. Integraldarstellung in komplexer Form Obwohl wir oben schon F berechnet haben, soll an dieser Stelle auch der komplexe Rechnungsgang gezeigt werden. F ∞ ∞ ( ) = − j ωt −αt − jωt − ( + ) ω ∫ ( ) = ∫ = ∫ t α jω f t e dt t e e dt t e −∞ ∞ ( α + jω ) −t( α + jω ) FS ⎛ −t ⎜ te e dt = − − ⎝ α + jω ( α + j ) 2 0 0 ω 2 2 2 2 ( + jω) ( α −ω ) + ( 2αω) 2 2 ( α −ω − 2αωj) 1 1 = = = = 2 2 α −ω ⎞ ⎟ ⎠ 2 2 2 2 2 ( α + ω ) ( α ω ) 2 α + − ∞ 0 2αω 2 j Integraldarstellung von f ( t) +∞ 2 2 ⎜ α −ω 2αω = − 2 1 2π ∫ −∞ ⎛ ⎜ ⎝ 2 2 2 2 2 ( α + ω ) ( α + ω ) ⎞ j ⎟e ⎟ ⎠ j ω t d ω 3. Amplituden(dichte)spektrum: Wir berechnen das Amplituden(dichte)spektrum also 1 2 2 jϕ ( ω ) jϕ F ( ω) = e = − j e = 2 2 ( α + jω) A ( ω) α −ω 2αω 2 2 2 2 2 ( α + ω ) ( α + ω ) 2 2 α −ω 2αω = − j = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( α + ω ) ( α + ω ) α + ω 1 ( ω ) jϕ ( ω ) ( ) A ω e
Fourierreihen und Fouriertransformation 53 Abbildung 31: Amplituden(dichte)spektrum. 4. Phasen(dichte)spektrum Wir berechnen das Phasen(dichte)spektrum ( ω) = 2 2 α −ω 2αω F 2 − 2 2 2 2 2 ( α + ω ) ( α + ω ) j also und Arg − 2αω ⎜ 2 ⎝α − ω ⎛ ⎞ ( F ( ω) ) ∠F( ω) = arctan ⎟ ⎠ cos = 2 2 2 α −ω ( ∠F ( ω) ) = 2 2 2 α + ω Abbildung 32: Phasen(dichte)spektrum. 5. Leistungs(dichte)spektrum Das Leistungsspektrum des Signals ist P 1 2π ( ω) = F( ω) 2 1 1 = 2π 2 2 ( α + ω ) 2
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