Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 1
1 Einführung
Die Theorie der Fourierreihen erlaubt es, ein periodisches Signal (Funktion) in eine unendliche
Summe (Reihe) von harmonischen Schwingungen zu zerlegen. Unter einer harmonischen
Schwingung ist eine Funktion/Signal mit einer Funktionsgleichung der Form
f ( t) = Acos
( ω t)
oder
f ( t) = B sin ( ω t)
oder
f ( t) = Acos
( ω t) + B cos ( ω t) = C cos ( ω t + ϕ)
d. h. phasenverschobene Sinus- oder Kosinusfunktionen zu verstehen, aber nicht
f ( t) = Acos ( ω t) + B cos ( 3ω
t)
.
Die harmonischen Schwingungen sind bemerkenswerte Funktionen. Sie haben keine
Sprünge, Ecken oder Kanten. Wir können sie ableiten und integrieren so oft wir wollen
ohne eckig oder kantig zu werden. Dabei reproduzieren sie sich ständig, d. h. sie bleiben
Sinus- oder Kosinusfunktionen. In der Physik und Elektrotechnik begegnen wir oft periodischen
Funktionen, allerdings nicht unbedingt Sinus- oder Kosinusfunktionen sondern
vielleicht Signalen wie in Abbildung 2.
Abbildung 2: Periodische Signale.
In Abbildung 3 ist das erste Signal von Abbildung 2 gezeichnet zusammen mit immer
besseren Approximationen durch Summen von harmonischen Schwingungen. Der Einfachheit
halber haben wir die Periode 2π gewählt. Die Funktionsgleichungen der Approximationen
lauten:
4
1. Approximation: f1( t) = sin ( t)
π
4 4 4
2. Approximation: f 2
( t) = f1( t) + sin ( 3t
) = sin ( t) + sin ( 3t
)
3π
π 3π
4 4 4 4
3. Approximation: f3( t) = f 2
( t) + sin ( 5t
) = sin ( t) + sin ( 3t
) + sin ( 5t
)
5π
π 3π
5π