Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 41
Gerade und ungerade Funktionen
• f ist eine gerade Funktion ⇒ F ist reell
F
∞
∫
−∞
( ω) f ( t) cos( ω t)
= dt
• f ist eine ungerade Funktion ⇒ F ist rein imaginär
• f ist weder gerade noch ungerade ⇒ F ist komplex
F
F
a
b
∞
∫
−∞
( ω) − j f ( t) sin( ω t)
= dt
( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
+∞
1
π ∫
( ω) = f ( t) cos ( ω t)dt
−∞
+∞
1
π ∫
( ω) = f ( t) sin ( ω t)dt
Die rechts angegebenen Funktionsgleichungen für F im Allgemeinen komplexen Fall
folgen direkt aus dem Fourier'schen Integralsatz, wenn wir e -jωt durch cos(ω t) – j sin(ω t)
ersetzen und F in Real- und Imaginärteil aufspalten.
F
+∞
− jωt
( ω) = f ( t) e dt
∫
−∞
+∞
∫
−∞
−∞
( )dt
= f ( t) cos( ω t) − j sin ( ω t)
+∞
∫
= ( ) ( ) dt j f ( t) ( t)dt
−∞
f t cos ω t
−
+∞
∫
−∞
sin ω
• Falls f gerade ist, dann ist f (t ) sin(ω t) ungerade und das 2. Integral verschwindet.
• Falls f ungerade ist, dann ist f (t) cos(ω t) ungerade und das 1. Integral verschwindet.
Wenn wir
F( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
im Fourierintegral einsetzen, dann bekommen wir die reelle Fourierdarstellung von f, d. h.
f
f
+∞
+∞
1
1
=
2π
∫
2π
∫
jωt
( t) F( ω) e dω
= ( π a( ω) − jπ
b( ω)
)( cos( ω t) − jsin( ω t)
) dω
1
2
+∞
−∞
−∞
( t) = ( a( ω) cos( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
+ ( a( ω) sin( ω t) − b( ω) cos( ω t)
) dω
∫
−∞
Diese Integrale lassen sich auf Grund von Symmetrieregeln noch vereinfachen. Dabei ist
zu beachten, dass über ω integriert wird. Es kommt also auf die Symmetrie bezüglich ω
an.
j
2
+∞
∫
−∞