Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 15
3 Die komplexe Darstellung der Fourierreihe
3.1 Fourierreihe
In der Signalverarbeitung ist es üblich, die Fourierreihe eines Signals in der komplexen
Form darzustellen (keine Ausnahmeregeln beim Ableiten oder Integrieren). Die Darstellung
wird kompakter weil rechnerisch nicht zwischen Sinus- und Kosinustermen unterschieden
werden muss sondern nur noch komplexe Exponentialterme e ω
− j nω
t
j n t
und e
auftreten, welche sehr einfach zu integrieren und differenzieren sind. Auch Produkte von
Sinus- und Kosinusfunktionen mit Exponentialfunktionen werden zu allgemeinen (komplexen)
Exponentialfunktionen.
Am Anfang war Leonard Euler mit
e j x = cos(x) + j sin(x)
e j ω t = cos(ω t) + j sin(ω t)
e –j ω t
= cos(ω t) – j sin(ω t)
und weil wir nach cos(ω t) und sin(ω t) auflösen wollen
e j ω t + e –j ω t = 2cos(ω t)
also
cos(ω t ) = 2
1 (e
j ω t + e –j ω t )
und
also
e j ω t – e –j ω t = 2j sin(ω t)
sin(ω t ) =
1 (e
j ω t – e –j ω t 1
) = – j(e
j ω t – e –j ω t ).
2 j
2
Wenn diese Ausdrücke für cos(ω t) und sin(ω t) in der reellen Fourierreihe eingesetzt werden,
ergibt sich
∞
∞
a0
f (t) = + a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t)
Wenn nun
und
∑
∑
n
0
2 n=
1
n=
1
∞
∞
a0 1 jnω0t
− jnω0t
1 jnω0t
− jnω0t
= + ∑ an
( e + e ) −∑bn
j( e − e )
2 n=
1 2
n=
1 2
∞
∞
0 ⎛ an
bn
⎞ jnω
⎛ ⎞
0t
an
bn
− jnω0t
+ ∑⎜
− j ⎟e
+ ⎜ + j ⎟e
2 n=
1 ⎝ 2 2 ⎠
n=
1 ⎝ 2 2 ⎠
∞
∞
0 1
jnω0t
1
− jnω0t
+ ∑ an
− jbn
e + ∑ an
+ jbn
e
2 n=
1 2
n=
1 2
a
= ∑
a
= ( ) ( )
c n = 2
1 (an – jb n )
n
0