Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 11
a
n
2
=
T
2
bn
=
T
T
∫
0
T
∫
0
f
f
( t ) cos( nω
t)
für
n∈
N
( t ) sin( nω
t ) dt für n∈
N
Die Zahlen a n und b n werden die Fourierkoeffizienten von f genannt. An eventuellen
Sprungstellen t 0 ist der Wert der Fourierreihe gleich
+
−
f ( t0
) + f ( t0
)
.
2
In allen stetigen Punkten t konvergiert die Fourierreihe gegen f.
Kurzum. Die üblichen in der Praxis auftretenden periodischen Funktionen (stückweise
stetig, keine Pole, etc.) lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln.
0
0
dt
0
Bemerkungen
• Weil
und
T
∫
0
T
∫
0
f
T + T
0
( t ) cos( nω
0t) dt = ∫ f ( t ) cos( nω
0t)
f
T0
T + T
0
( t ) sin( nω
0t) dt = ∫ f ( t ) sin( nω
0t)
T0
können die Integrale an irgendeiner Stelle T 0 über eine Periode genommen werden.
Die obige Darstellung besteht aus unendlich vielen Termen.
• Wenn wir aus praktischen Gründen an einer besten Approximation durch endlich
viele Sinus- und Kosinusterme interessiert sind, dann können wir natürlich nach
endlich vielen Termen abbrechen, denn es kann gezeigt werden, dass
lim a = lim b = 0 .
n → ∞
n
n → ∞
Wenn wir die oben definierte Fourierreihe nach endlich vielen Termen abbrechen,
dann sprechen wir von einer endlichen Fourierreihe und es entsteht als Approximation
ein so genanntes trigonometrisches Polynom f n vom Grade n oder auch vom
Fourierpolynom. In Abbildung 3 waren solche approximierenden trigonometrischen
Polynome dargestellt. Eine Approximation durch eine solche endliche Fourierreihe
ist die beste Approximation, wenn 'beste' im so genannten least square Sinn definiert
wird.
• Es kann gezeigt werden, dass das trigonometrische Polynom f n , welches durch
Abbruch der (unendlichen) Fourierreihe entsteht, das folgende Integral minimiert
• Es könnte auch
2
mittlerer quadratischer Fehler ( f ( t ) f ( t )) dt
T
∫
0
f
n
T
=∫ −
0
( t ) − f ( t ) dt
n
dt
dt
n