Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 59
0 + 2π =π
2
reproduziert. Die untere Kurve approximiert im least square Sinn am besten die Funktion
f (t) = t
im ganzen Intervall [0, 2π]. Das liegt vor allem an den Sprungstellen. Dort ist die klassische
Fourierreihe besser.
Ergänzung
Das Mass für die Güte der Approximation im least square Sinn ist die Grösse:
2π
2 1
2
s = ∫ ( f ( t) − g( t)
) dt
2π
0
Für die obere Kurve ist s 2 = 16.7, für die untere Kurve ist s 2 = 11.3. Die klassische Fourierreihe
ist also tatsächlich besser im least square Sinn über das ganze Periodenintervall,
aber sie reproduziert das Signal nicht in regelmässigen Zeitabständen.
Um die Fourierkoeffizienten für das Abtastproblem, d. h. Interpolationsproblem zu berechnen,
müssen wir die Berechnungsvorschrift der klassischen Fourierkoeffizienten modifizieren.
Das wollen wir im nächsten Abschnitt tun.
5.2 Berechnung der diskreten Fourierkoeffizienten
Wir gehen also davon aus, dass ein periodisches Signal y = f (t) im Intervall [0, 2π] an 2N
Stellen abgetastet wird. Für die t-Koordinaten der Stützstellen gilt dann:
2π π
t k = k ∆ t , 0 ≤ k ≤ 2N
− 1 und ∆ t = =
2N
N
Die abgetasteten Werte y k = f(t k ) sollen durch ein trigonometrisches Polynom interpoliert
werden. Das trigonometrische Polynom muss ebenfalls genau 2Ν unbekannte Koeffizienten
haben, denn das Einsetzen der Punkte ( t
k
, y k
) liefert 2N Gleichungen.
Das Polynom
g
N
N
( t) = α
o
+ ∑ ( α
k
cos( kt) + β
k
sin( kt)
)
k = 1
hat einen Term zu viel. Wir setzen deshalb das trigonometrische Polynom mit
g
N
N 1
=
o ∑ −
k = 1
( t) α + ( α cos( kt) + β sin( kt)
) + α cos( Nt)
k
An. Der letzte Sinusterm 2 ist gleich null. Einsetzen der 2N Punkte (t k , y k ) liefert das lineare
Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten
k
N
2 Für den letzten Term sin(Nt k ) gilt für jeden Punkt
π
t k
= k
N
also folgt
⎛ kπ
⎞
sin ( N t k
) = sin⎜
N ⎟ = sin( k π ) = 0 ,
⎝ N ⎠
d. h. der Term β sin ( N ) = 0 für jedes β N .
N
t k