Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 2 Abbildung 3: Die linken Bilder zeigen jeweils eine Periode des Rechtecksignals f (t) zusammen mit den Approximationen der Form n 4 1 f n ( t) = ∑ sin( ( 2k −1) t) π 2k −1 k = 1 Mit zunehmendem n verbessern sich die Approximationen. Dies ist auch ersichtlich aus den Bildern rechts wo jeweils die Differenzen f (t ) – f n (t ) eingezeichnet sind. Die relativ grossen Differenzen bei den Sprungstellen verschwinden nie ganz (so genanntes Gibbs Phänomen). Weil die Funktion f ungerade ist, ist es verständlich, dass nur Sinusfunktionen vorkommen, denn auch die Sinusfunktionen sind ungerade. Dass der erste Beitrag (mit der grössten Amplitude) dieselbe Periode (in diesem Fall 2π), im allgemeinen Fall
Fourierreihen und Fouriertransformation 3 T = 2π / ω0 hat wie die Funktion f ist ebenfalls verständlich. Die exakte Reproduktion von f würde theoretisch erst durch eine unendliche Summe, d. h. eine unendliche Reihe erreicht werden. Diese unendliche Reihe wird die Fourierreihe von f genannt. Sie lautet in diesem Fall f ( t) 2 u ( t − k) − 1 = ∑ ∞ k =−∞ 4 ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜sin( t) + sin(3t) + sin(5t) + ... ⎟ π ⎝ 3 5 ⎠ 4 1 = sin (( 2n −1) t) π 2n −1 ∑ ∞ n= 1 Im allgemeinen Fall, wenn das Signal weder gerade noch ungerade ist, wird die Fourierreihe Sinus- und Kosinusfunktionen enthalten und die allgemeine Fourierreihe einer solchen beliebigen periodischen Funktion f mit Periode T = 2π / ω0 wird lauten f a 0 ( t) = + ( a cos( nω t) + b sin ( nω t) ) ∑ ∞ 2 n = 1 n Die Koeffizienten a n und b n werden die Fourierkoeffizienten von f genannt. Die Fourierkoeffizienten bestimmen die Amplitude der Schwingung mit der betreffenden Frequenz nω 0 . Die Amplituden A = a + b n geben an, mit welcher Stärke die betreffende Frequenz im Signal vorkommt. Wie sie berechnet werden, wird im nächsten Abschnitt angegeben. Die Bestimmung der Fourierreihe eines periodischen Signals ermöglicht eine spektrale Analyse des Signals. Wir sprechen von Spektralanalyse. 2 n 0 2 n n 0 Die Abhängigkeit A n (n) wird das Amplitudenspektrum des Signals f genannt. Im obigen Beispiel der Rechteckswelle ergibt sich. f ( t) 2 u ( t − k) − 1 = ∑ ∞ k = −∞
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