Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 84 k 2N 1 1 ∑ − N i= 0 2N 1 1 ∑ − ( t ) cos ( kt ) α = f , k = 1, … , N – 1 i= 0 i ( t ) sin ( kt ) β k = f , k = 1, … , N – 1 i i N Für das trigonometrische Polynom g N gilt die Interpolationseigenschaft g N i π N ( t ) = f ( t ) , t = k , k = 0,...,2N −1 k k k
Fourierreihen und Fouriertransformation 85 7 Anhang: Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten Wir gehen aus von der 2π-periodischen Funktion f mit den 2N Stützstellen π t i = i , i = 0, ,2N −1 N und benutzen die nach cos(k t ) und sin(k t ) aufgelösten Euler'schen Formeln und cos sin 1 jkt − jkt ( kt) = ( e + e 2 ) 1 jkt − jkt ( kt) = − j( e −e 2 ) Einsetzen dieser Ausdrücke in der reellen Fourierreihe liefert z. B. für N = 4 f a1 jt − jt a2 2 jt −2 jt a3 3 jt −3 jt a4 4 jt −4 jt ( t) = a + ( e + e ) + ( e + e ) + ( e + e ) + ( e + e ) 0 − j 2 2 Ordnen nach den Funktionen e jkt liefert f 2 2 jt − jt b2 2 jt −2 jt b3 3 jt − jt ( e −e ) − j ( e −e ) − j ( e −e ) b 1 3 jt 1 2 jt 1 3 jt a4 4 jt 4 jt ( t) = a + 1 ( a −b j ) e + ( a −b j ) e + ( a −b j ) e + ( e + e − ) 0 2 1 1 2 2 2 1 1 1 − 1 1 2 2 3 3 − jt −2 jt 3 jt ( a + b j ) e + ( a + b j ) e + ( a + b j ) e + 2 2 2 Einsetzen der Interpolationspunkte (t k , y k ) liefern die 2N Gleichungen. Wir wählen 2N = 8 jt 1 k 2 jt 1 k 3 jt a k 4 4 jtk 4 jtk ( t ) = y = a + 1 ( a −b j ) e + ( a −b j ) e + ( a −b j ) e + ( e + e ) − f k k 0 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 1 − jt 1 k −2 jt 1 k −3 jtk + ( a1 + b1 j ) e + ( a2 + b2 j ) e + ( a3 + b3 j ) e , k = 0, ... , 2N – 1 = 7 2 2 2 π π π Weil t k = k , k = 0, , 2N −1 gilt für alle t k , dass 8 t k = 8k = 8k = 2π k und somit N N 4 jt 2 jk e k π = e = 1. Daraus wiederum folgt, dass e e e − jtk −2 jtk −3 jtk = e = e = e − jtk e −2 jtk −3 jtk −4 jtk −4 jtk 8 jtk 4 jtk e = e e = e sodass die Gleichungen auch wie folgt geschrieben werden kann. 1 jt 1 k 2 jt 1 k 3 jtk 4 jtk f ( tk ) = yk = a0 + ( a1 −b1 j ) e + ( a2 −b2 j ) e + ( a3 −b3 j ) e + a4e 2 2 2 1 5 jt 1 k 6 jt 1 k 7 jtk + ( a3 + b3 j ) e + ( a2 + b2 j ) e + ( a1 + b1 j ) e , k = 0, ..., 2N – 1 = 7 2 2 2 oder 8 jtk e e 8 jtk 8 jtk = e 2 2 7 jtk = e = e 3 6 jtk 5 jtk 2 3 2 2
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