Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 32 f 1 2π jnω0t ( t) = F( ω) ⋅ e ω0 ∑ ∞ n= −∞ Auch in dieser Summe muss der Grenzübergang T → ∞ resp. ω 0 → 0 gemacht werden, d. h. ω 0 durch dω und n ω 0 durch ω ersetzt werden. Dann wird aus der Summe ein Integral f ∞ 1 ⎛ ⎞ 1 jωt = ∑ → ∫ ⋅ e dω 2π dω 0⎝ n=−∞ ⎠ 2π jωt ( t) lim ⎜ F( ω) ⋅ e dω ⎟ = F( ω) Integralsatz von Fourier (komplexe Darstellung) Sei f absolut integrabel, d. h. ∞ ∫ −∞ f ( t) soll existieren und f erfülle in jedem Intervall die so genannte. Dirichletbedingungen, d. h., in jedem Punkt t sollen links- und rechtsseitige Grenzwerte existieren. Dann gelten die folgenden Beziehungen zwischen der Zeitfunktion f und der so genannten Spektralfunktion F f F dt ( t) F( ω) 1 = 2 π −∞ +∞ e jωt − jωt ( ω) = f ( t) e dt ∫ −∞ +∞ ∫ Die Transformation f (t) → F(ω) wird Fouriertransformation und die Transformation F(ω) → f (t) wird inverse Fouriertransformation genannt. Die Funktion F wird die Fouriertransformierte von f sowie f die inverse Fouriertransformierte F genannt. Die Fouriertransformierte F von f ist physikalisch die Spektralfunktion und ist im Allgemeinen eine komplexwertige Funktion. Die Funktion F enthält die Information über die spektrale Intensitätsverteilung des Signals und die Umkehrformel f dω j ( ) ( ω) ω t t F e dω 1 = 2 π +∞ ∫ −∞ erlaubt es, bei bekannter Spektralfunktion F das Signal zu ermitteln. Die Formel f j ( ) ( ω) ω t t F e dω 1 = 2 π +∞ ∫ −∞ wird auch (Fourier'sche) Integraldarstellung von f oder Spektraldarstellung von f genannt. An eventuellen Sprungstellen t 0 liefert die Auswertung des Fourierintegrals +∞ −∞
Fourierreihen und Fouriertransformation 33 +∞ ∫ −∞ 1 j ( ω) ω to F e dω 2π den Wert + − f ( t0 ) + f ( t0 ) 2 In allen stetigen Punkten t konvergiert das Fourierintegral gegen f. 1. Bemerkung In der Optik hat die Fouriertransformierte, d. h. die Spektralfunktion eine sehr anschauliche Bedeutung. Wenn wir uns vorstellen f sei ein heterochromatischer Lichtstrahl, dann zerlegt die Fouriertransformation gleich wie ein Glasprisma den Strahl in seine spektralen Komponenten (Brechung, z. B. in Regentropfen, Regenbogen). In der Optik haben die einzelnen Frequenzen oder Frequenzbereiche die Bedeutung von Farben. Die Fouriertransformation ergibt also das Farbspektrum eines Lichtstrahls. Die meisten Signale in der Praxis besitzen Fouriertransformierte, d. h. erfüllen die Voraussetzungen des obigen Satzes (absolut integrabel, etc.), denn sie sind (mathematisch) beschränkt und von endlicher Dauer. Auch für die Fouriertransformierten gibt es Lexika (Sammlungen der gebräuchlichsten Fouriertransformierten) und auch für die Fouriertransformation gibt es Transformationsregeln analog zu denjenigen der Laplacetransformation. Die Fouriertransformation besitzt mathematisch grosse Ähnlichkeit mit der Laplace Transformation. Sie unterscheidet sich in zweierlei Hinsicht von der Laplacetransformation und macht sie deshalb mathematisch komplizierter: 1. Die Operatorvariable s bei Fourier ist rein imaginär: s = jω (Laplace s = σ + jω) 2. Das definierende Integral erstreckt sich von –∞ bis +∞ , d. h. es gab kein Einschalten zum Zeitpunkt t = 0. Oder anders gesagt: Die speziellen Werte bei t = 0 (Einschaltvorgang, d. h. Anfangswerte) haben keinen Einfluss mehr, dass Signal war schon seit ewigen Zeiten da (wir erhalten die stationäre Lösung einer Differenzialgleichung). Diese Unterschiede haben zur Folge, dass die Regeln für die Fouriertransformation ähnlich aber nicht identisch mit denjenigen der Laplacetransformation sind. Die wichtigsten sind hier zusammengestellt. Es wird dasselbe Korrespondenzsymbol wie beim Laplacieren: f(t) F(ω), resp. F(ω) f(t) verwendet. 2. Bemerkung In der Literatur gibt es verschiedene Systeme für die Definition der Fouriertransformation und zwar je nach Normierungskonstante vor den Integralen. Die obige Definition soll System 1 heissen (willkürliche Festlegung). Der Vollständigkeit halber sollen die anderen möglichen Systeme an dieser Stelle erwähnt werden. Jedes System hat seine Vor- und Nachteile (früher oder später handeln wir uns aber in jedem System einen Faktor 2π ein, einfach an einer anderen Stelle.) und je nach System unterscheiden sich die Funktionsgleichungen für die Fouriertransformierten in einem Fourierlexikon durch konstante Faktoren.
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