Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 70
Wie die obigen Matlab-Zeilen zeigen, ist die fft eine rein abstrakte Transformation von
n Daten, resp. Funktionswerten y k in n andere Werte c k . Physikalisch enthalten die c k die
Information über die Amplituden der vorkommenden Frequenzen. Die zeitlichen Stützwerte
t k gehen gar nicht als input in die fft-Prozedur ein. Per Definition verwendet Matlab
fft das Periodenintervall [0, 2N].
Wenn mit Hilfe der durch fft gelieferten c k die Funktionsgleichung des interpolierenden
trigonometrischen Polynoms in der Form
N
( ) ( ) ∑ − 1
α
0
α
N
f t = + cos Nω0t
+ ( α
k
cos( kω0t) + β
k
sin( kω0t)
)
2 2
k = 1
ermitteln werden soll (um es z. B. zeichnen zu können), dann müssen wir zweierlei wissen.
1. Beziehungen zwischen den komplexen Fourierkoeffizienten c k , welche von einem fft
Algorithmus geliefert werden und den reellen Fourierkoeffizienten α k und β k .
2. Die konkreten Zeitwerte t k .
Beziehung zwischen den c k (Matlab) und den α k , β k (Theorie)
Wir gehen aus von n = 2N Funktionswerten und der Funktionsgleichung
N
( ) ( ) ∑ − 1
α
0
α
N
f t = + cos Nω0t
+ ( α
k
cos( kω0t) + β
k
sin( kω0t)
)
2 2
k = 1
Dann gelten die folgenden Beziehungen. Wir beachten, dass in Matlab die Vektoren mit
Index 1 beginnen. In der Literatur (und auch bei uns) beginnen wir in der Regel mit c 0 , a 0 ,
y 0 = f (t 0 ), etc.
Theorie
Matlab-Code
1
α 0 =
2N
c0 a0 = c(1)/(2*N)
1
α k = Re(ck ), k = 1,
, N −1
a(k) = 2*real(c(k+1))/(2*N)
N
1
β k = – Im(ck ), k = 1,
, N −1
b(k) = -2*imag(c(k+1))/(2*N)
N
1
α N = cN a(N) = c(N+1)/(2*N)
2N
Für den Beweis der obigen Beziehungen siehe Kapitel 7.
Die so ermittelten α k und β k liefern Interpolation an den Stützwerten
t k
= k , k = 0, ,2N
−1
fft() liefert also eine T = 2N-periodische Funktion (Signal), d. h. das ω 0 in der obigen
Funktionsgleichung des trigonometrischen Polynoms hat den Wert
2π
2π
π
ω
0
= = = .
T 2N
N