Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 27
4 Von der Fourierreihe zur Fouriertransformation
4.1 Grenzübergang an einem konkreten Beispiel
Bis jetzt haben wir uns mit Funktionen und Signalen beschäftigt, welche sich ständig
wiederholen d. h. periodisch sind. Die Theorie der Fourierreihe hat gezeigt, dass sich solche
periodischen Signale auch wenn sie nicht harmonisch sind trotzdem als Summe von
harmonischen Signalen darstellen lassen. In diesem Abschnitt versuchen wir der Tatsache
Rechnung zu tragen, dass nicht alle Signale in der physikalischen Realität periodisch sind.
Wir untersuchen also wie wir die Ergebnisse der letzten Abschnitte modifizieren müssen
für Signale welche sich nicht ständig wiederholen. Das führt uns ins Gebiet der Fouriertransformation
und des Fourierintegrals.
Abbildung 12: Links: periodische Funktionen führen zur Fourierreihe.
Rechts: absolut integrable Funktionen führen zum Fourierintegral.
Den Übergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation können wir uns vielleicht
am besten vorstellen, wenn wir bei einer periodischen Funktion die Periode T nach ∞
streben lassen. Nehmen wir als Beispiel die folgende zunächst noch periodische Rechtecksimpulsfolge
mit Amplitude A = 1.
Abbildung 13: Periodische Rechtecksimpulsfolge
mit Periodendauer T und
Amplitude A = 1.
Die Fourierreihe dieser geraden Funktion enthält nur Kosinusterme.
f
a
∞
0
( t ) = + a cos( nω
t) = + a cos( nω
t),
∑
∑
n
0
2 n=
1
T n=
1
d. h.
a0
τ
= .
2 T
Für die restlichen Fourierkoeffizienten a n (n > 0) gilt
τ
∞
n
0