Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 65
Diskrete Fourier Interpolation
Es sei g in [0, 2π] definiert und 2π periodisch, dann gilt
mit
g
N
N
∑ − 1
k = 1
( t) = α + α cos( Nt) + ( α cos( kt) + β ( kt)
)
0 N
k
k
sin
2N
∑ − 1
1
f ( t i
)
2N
i=
0
1 2N
−1
2 −1
1
∑
= ∑
N
f ti
cos Nti
2N
i=
0
2N
i=
0
2N
1
1
∑ −
f ( ti
) cos( kti
)
N i=
0
2N
1
1
∑ −
f ( ti
) sin ( kti
)
N i=
0
α =
,
α
0
N
k
=
i
( ) ( ) ( −1) f ( t )
α =
,…k = 1, …, 2N – 1
β =
,…k = 1, …, 2N – 1
k
Für das trigonometrische Polynom g N (t) gilt die Interpolationseigenschaft:
π
g
N
( tk
) = f ( tk
), tk
= k , k = 0,..., 2N
−1
N
Ein Beweis der Formeln ist im Kapitel 0 gegeben.
Wenn wir die Formeln für α n und β n kennen, dann können wir natürlich auch direkt die
Formeln für die Fourierkoeffizienten verwenden.
Matlab-Code zur Berechnung der diskreten Fourier-Interpolation mit Hilfe der Formeln
für die Koeffizienten.
% Skript Beispiel Diskrete reelle Fourier Interpolation
% Benutzung der Formeln für die Koeffizienten
% Funktion f(t) 2*pi periodisch
% Filename = dfi2_diverse_Fkt.m
i
N=8;
n=2*N;
% Grad des trig. Polynoms
% Anzahl Punkte
% verschiedene Funktionen zum ausprobieren
% Es wird das Intervall [0,2pi] zugrundegelegt,d.h
% Funktionsgleichungen gelten für das Intervall [o,2pi]
% mit periodischer Fortsetzung
% Die Lage des Intervalls ist egal solange die Periode 2pi
ist.
func='exp(t)';
%func='(t+abs(t))/2';
%func='abs(t)/pi'; % Dreiecksfolge
%func='exp(-t.^2)';
%func='exp(-abs(t))';
%func='sin(t)';
%func='1./(1+t.^2)';