Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...
Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...
Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>Fourierreihen</strong> <strong>und</strong> <strong>Fouriertransformation</strong> 20<br />
2 2<br />
a3<br />
+ b3<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
P<br />
3<br />
= = c3<br />
+ c−3<br />
= a = 0. 0225a<br />
2<br />
2<br />
9π<br />
2 2<br />
a4<br />
+ b4<br />
2 2<br />
P4 = = c4<br />
+ c−4<br />
= 0<br />
2<br />
2 2<br />
a5<br />
+ b5<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
P<br />
5<br />
= = c5<br />
+ c−5<br />
= a = 0. 0811a<br />
2<br />
2<br />
25π<br />
Damit folgt, dass P 0 + P 1 = 0.453a 2 bereits 90% der Gesamtleistung bestimmen. Um 95%<br />
der Gesamtleistung zu bekommen, müsste noch die 3. Harmonische hinzugenommen<br />
werden.<br />
3.3 Lösen von partiellen Differenzialgleichungen<br />
Eine wichtige Anwendung der Theorie der <strong>Fourierreihen</strong> in der Physik ist das Lösen von<br />
partiellen Differenzialgleichungen. Joseph Fourier hat die Theorie der <strong>Fourierreihen</strong> aus<br />
genau einem solchen Problem entwickelt. Bei Fourier war es das Problem der Wärmeleitung.<br />
Wir wollen hier das Problem einer schwingenden Saite untersuchen. Die Anfangsauslenkung<br />
sei eine vorgegebene Funktion f. Nehmen wir konkret die folgende Situation:<br />
Abbildung 9: Auslenkung einer Saite zum<br />
Zeitpunkt t = 0.<br />
Eine Saite der Länge b (im unausgelenkten Zustand) wird in der Mitte um h nach oben<br />
gezogen, sodass eine Anfangsauslenkung in Form eines gleichschenkligen Dreiecks entsteht.<br />
Die Saite sei am Anfangs – <strong>und</strong> Endpunkt fest eingespannt. Anschliessend wird sie<br />
losgelassen <strong>und</strong> soll ungedämpft schwingen. Gesucht ist der Form der Saite zu einem<br />
beliebigen Zeitpunkt. Mathematisch formuliert wird also eine Funktion u(t, x) der beiden<br />
Variablen t <strong>und</strong> x gesucht, welche die Auslenkung der Saite als Funktion von x <strong>und</strong> t<br />
nach dem Loslassen angibt. Die physikalische Analyse des Problems führt auf die folgende<br />
partielle Differenzialgleichung für die Funktion u(t, x) so genannte Wellengleichung<br />
2<br />
2<br />
∂ u 2 ∂ u<br />
= a<br />
2<br />
2<br />
∂ t ∂ x<br />
wobei a eine Materialkonstante ist.<br />
Prinzipiell sei erwähnt, dass analytische Lösungsmethoden für partielle Differenzialgleichungen<br />
viel komplizierter sind als für gewöhnliche Differenzialgleichungen <strong>und</strong> nur in<br />
seltenen Fällen Rezepte vorhanden sind. Für einige Spezialfälle (wie dieser Fall) kann mit<br />
Hilfe eines so genannten Separationsansatzes (oder Produktansatzes) die Lösung ermittelt
Change language