Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 24
Die 1. Bedingung ( ) ( )
u
( 0 , x) = 0
u
u 0 , x = f x liefert die Gleichung
∞
( 0, x) = u ( 0, x) = A sin x = f ( x)
∑
n = 1
Die 2. Bedingung ( 0 , x ) = 0
u
( t,
x) = u
( t,
x)
∑ ∞
n = 1
n
∞
∑
n = 1
u liefert wegen
n
n
⎛ π n
⎜
⎝ b
∑ ∞ ⎛⎛
π a n
⎟ ⎞
⎜
⎛ π a n ⎞ π a n ⎛ π a n ⎞⎞
⎛ π n ⎞
=
⎜−
An
sin⎜
t ⎟ + Bn
cos⎜
t ⎟⎟sin⎜
x⎟
n=
1 ⎝ ⎝ b ⎝ b ⎠ b ⎝ b ⎠⎠
⎝ b ⎠⎠
die Gleichung
∞
∞
π a n ⎛ π n ⎞
u
( 0, x) = ∑u
n
( 0, x ) = ∑ Bn
sin ⎜ x⎟
= 0
n = 1
n = 1 b ⎝ b ⎠
Erfüllung der Anfangsbedingung liefert also die beiden folgenden Gleichungen für
die A n und B n
∑ ∞ ⎛ π n ⎞
An
sin ⎜ x⎟
= f ( x)
n = 1 ⎝ b ⎠
sowie
⎛ ⎞
∑ ∞ π a n π n
Bn
sin ⎜ x⎟
= 0
n = 1 b ⎝ b ⎠
Beide Gleichungen müssen identisch für alle x [ 0,b
]
⎞
⎟
⎠
∈ erfüllt sein.
Aus der zweiten Gleichung folgt sofort, dass
B n
= 0,
n∈N
.
Im Moment haben wir also für u(t, x) die folgende allgemeinste Lösung
( ) ∑ ∞ ⎛ ⎛ π a n ⎞ ⎛ π n ⎞⎞
u t , x = ⎜ An
cos⎜
t ⎟sin
⎜ x⎟⎟
n = 1⎝
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠⎠
und für die A n muss gelten
∑ ∞ ⎛ π n ⎞
An
sin ⎜ x⎟
= f ( x)
n = 1 ⎝ b ⎠
Es müssen nur noch die A n ermittelt werden.
Es müssen also die A n so bestimmt werden, dass
∑ ∞ ⎛ π n ⎞
An
sin ⎜ x⎟
= f
n = 1 ⎝ b ⎠
Wir erkennen auf der linken Seite eine Fourierreihe und zwar eine solche mit nur
Sinustermen, d. h. es ist die Fourierreihe einer ungeraden Funktion. Mit anderen
( x)
.